Algebra
Uitdrukkingen, lineaire vergelijkingen, lijnen, functies en parabolen, met spreadsheet-, grafiek- en functielabs waarin je elke stap toetst.
- 1Lineaire vergelijkingenAcht hoofdstukken over vergelijkingen zoals 3x + 5 = 20: wat een oplossing is, de vier eigenschappen van gelijkheid, vergelijkingen met de variabele aan beide kanten, de algemene aanpak, breuken en kommagetallen, en formules. In een grafieklab zie je elk lid van een vergelijking als lijn, zodat je de oplossing kunt zien waar de lijnen elkaar snijden.8 Hoofdstukken
- 2Grafieken van lijnenZes eenheden over het coördinatenvlak en rechte lijnen: geordende paren plotten, een vergelijking tekenen vanuit een tabel of de snijpunten met de assen, de helling als stijging gedeeld door verschuiving, y = mx + b, de vergelijking van een lijn vinden, en twee vergelijkingen oplossen door te zien waar hun lijnen elkaar kruisen. Elke eenheid heeft een grafieklab om te slepen en te testen.6 Hoofdstukken
- 3Kwadratische functies en vergelijkingenZes hoofdstukken over kwadratische functies en vergelijkingen: parabool, topvorm, ontbinden in factoren, abc-formule, discriminant en een geworpen bal. Verander a, b en c en bekijk y = ax² + bx + c in het functielab, met top, symmetrieas en snijpunten met de x-as.6 Hoofdstukken
- 4FunctiesZes hoofdstukken: wanneer een regel een functie is, domein en bereik, grafieken lezen, verschuiven en rekken, functies in elkaar zetten en functies omkeren. Elk hoofdstuk heeft een functielab, van de verticale-lijntest tot spiegelen in y = x.6 Hoofdstukken
Letters die voor getallen staan
Algebra begint zodra een letter een getal vervangt. De eerste cursus opent in 1591, toen François Viète een boek drukte met klinkers voor onbekende en medeklinkers voor bekende getallen. Docenten vinden in de meeste hoofdstukken een toelichting op waar een klas vastloopt, vaak met de plaats van het onderwerp in het Koreaanse nationale leerplan van 2022. Stelsels van vergelijkingen worden nog geschreven.
Vijf cursussen die op elkaar voortbouwen
Begin met Uitdrukkingen. Zes hoofdstukken gaan van woorden in uitdrukkingen omzetten naar een gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen. Je eindigt met regels: aan één vierkante tafel passen 4 mensen, dus aan n tafels op een rij passen 2n + 2.
Lineaire vergelijkingen volgt met acht hoofdstukken over vergelijkingen zoals 3x + 5 = 20. Je begint met een balans die in evenwicht blijft als van beide schalen 5 afgaat en eindigt met formules als F = (9/5)C + 32.
Neem daarna Grafieken van lijnen: geordende paren, helling als verticale verandering gedeeld door horizontale verandering, y = mx + b, lijnvergelijkingen vinden en twee vergelijkingen oplossen bij het snijpunt. Functies gaat verder met domein en bereik, grafieken lezen, verschuiven en uitrekken, samenstellen en inversen. Kwadratische vergelijkingen sluit af met topvorm, ontbinden, de abc-formule, de discriminant en een geworpen bal.
Kleine berekeningen die het idee dragen
Reken 4 + 3 · 7 van links naar rechts en je krijgt 49. Vermenigvuldig eerst en je krijgt 25: daarom spreken we de volgorde af. 7 · 98 wordt eenvoudig als 7 · (100 − 2) = 686. In 2y + 6 = 2(y + 3) verdwijnt de letter en is elk getal een oplossing. Met f(x) = 2x + 1 en g(x) = 3 − x is f(g(x)) gelijk aan 7 − 2x, maar g(f(x)) aan 2 − 2x. En een bal die met 80 voet per seconde vanaf een dak van 40 voet omhoog wordt gegooid, bereikt na 2.5 seconden 140 voet.
Een antwoord testen in plaats van hopen
In het spreadsheetlab typ je twee uitdrukkingen als formules, voer je ze omlaag door langs x-waarden en vergelijk je elke rij. Het grafieklab tekent beide kanten van een vergelijking als lijnen. De oplossing ligt bij het snijpunt. De fout 2x + 3 voor 2(x + 3) wordt een evenwijdige lijn die de juiste nooit raakt. Het functielab voert de verticale-lijntest uit, spiegelt een grafiek in y = x en tekent y = ax² + bx + c terwijl je a, b en c verandert. De top en snijpunten met de x-as worden gemarkeerd.
Fouten die op algebra lijken
3x + 5 schrijven als 8x. 3(x + 4) uitwerken als 3x + 4 of (x + 3)² als x² + 9. ‘Zeven minder dan x’ vertalen als 7 − x. f(0) lezen als f maal 0. −3² = −9 opschrijven terwijl het punt op y = x² bij x = −3 hoogte 9 heeft. Denken dat een discriminant van 0 geen oplossing betekent. Elk hoofdstuk noemt eigen fouten met hun oorzaak.
Vragen over dit vak
Mogen twee invoeren dezelfde functie-uitvoer hebben?
Ja: een functie vereist dat elke invoer precies één uitvoer heeft, niet dat elke uitvoer maar bij één invoer hoort. Twee drankjes mogen dezelfde prijs hebben zonder dat de prijslijst ophoudt een functie van het artikel te zijn. Het probleem ontstaat als één ongewijzigde invoer verschillende uitvoeren krijgt, want die bepaalt dan geen enkelvoudig resultaat meer. Functies
Waarom faalt een cirkel voor de verticale-lijntest?
Een verticale lijn legt één x-waarde vast en toont alle uitvoeren van de grafiek bij die invoer. Door het midden van een cirkel snijdt ze zowel een bovenste als een onderste punt. Eén x krijgt zo twee y-waarden. De hele cirkel kan daarom geen grafiek van een functie van x zijn, hoewel het een geldige meetkundige kromme is. Functies
Wat verschilt tussen domein en bereik?
Het domein bevat de invoerwaarden die een functie accepteert; het bereik bevat de uitvoerwaarden die werkelijk ontstaan. In een geordend paar hoort de eerste waarde bij de invoer en de tweede bij de uitvoer. Komt dezelfde uitvoer in meerdere paren voor, dan schrijf je die maar eenmaal wanneer je het bereik als verzameling noteert. Functies
Hoe vind ik het reële domein van een formule?
Sluit invoer uit die een noemer nul maakt en eis dat de uitdrukking onder een even wortel niet negatief is. Bij de vierkantswortel van x plus twee moet x dus minstens min twee zijn. Een praktische situatie kan extra beperkingen geven: een algebraïsch toegestane negatieve waarde kan bijvoorbeeld geen negatief aantal kaartjes voorstellen. Functies
Betekent falen voor de horizontale-lijntest dat een grafiek geen functie is?
Nee: de horizontale-lijntest controleert of een functie een-op-een is. Dat is iets anders dan controleren of het überhaupt een functie is. De parabool y = x² − 3 geeft dezelfde uitvoer bij 1 en −1 en faalt dus voor die test. De verticale-lijntest doorstaat zij wel, omdat elke invoer maar één uitvoer heeft. Functies