edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Algebra

Kwadratische functies en vergelijkingen

Zes hoofdstukken over kwadratische functies en vergelijkingen: parabool, topvorm, ontbinden in factoren, abc-formule, discriminant en een geworpen bal. Verander a, b en c en bekijk y = ax² + bx + c in het functielab, met top, symmetrieas en snijpunten met de x-as.

Voortgang

Over deze cursus

Dit lijkt een handige stap: om x² = 5x op te lossen, deel je beide kanten door x en krijg je x = 5. Maar x = 0 werkt ook, want 0 = 0, en die oplossing is verdwenen. Delen door x mag alleen als x niet 0 is. Juist 0 was de oplossing die je weggooide. De oplossing voor die fout is alles naar één kant brengen en ontbinden in factoren. Daar draait het hier om: een kwadratische vergelijking kan twee antwoorden hebben en elke methode helpt je beide te vinden.

De zes hoofdstukken gaan van de parabool naar de topvorm, oplossen door ontbinden, de abc-formule, de discriminant en een geworpen bal. In topvorm heeft f(x) = −3(x + 2)² + 4 de top (−2, 4) en symmetrieas x = −2. De parabool opent naar beneden omdat a = −3. Door ontbinden los je een vraag op over een rechthoek die 3 meter langer dan breed is en een oppervlakte van 40 vierkante meter heeft: w(w + 3) = 40 wordt (w + 8)(w − 5) = 0. De abc-formule wordt afgeleid door dezelfde stappen met letters te doen. De discriminant b² − 4ac vertelt vervolgens hoeveel oplossingen je kunt verwachten: nul betekent één dubbele wortel, zoals bij x² − 8x + 16 = 0 met x = 4. Een functielab markeert de top, de as en de snijpunten met de x-as terwijl je a, b en c verandert.

In het laatste hoofdstuk onderzoek je waar de 16 in H(t) = −16t² + 80t + 40 vandaan komt. Door de zwaartekracht neemt de snelheid van een vallend voorwerp dicht bij de grond elke seconde met ongeveer 32 voet per seconde toe. De valafstand is de helft daarvan maal t², dus de coëfficiënt is 16. Een herinnering uit hetzelfde hoofdstuk: −b/(2a) geeft het tijdstip van het hoogste punt, niet de hoogte.

Voor je begint

Ontbinden en de abc-formule vragen herschrijven en vereenvoudigen. Begin met Uitdrukkingen en Lineaire vergelijkingen. Punten tekenen uit Grafieken van lijnen helpt bij parabolen. Wortels komen vaak voor; met een rekenmachine kun je exacte antwoorden als kommagetal schrijven.

Als je klaar bent

Je schetst y = ax² voor verschillende a, herschrijft 2x² + 4x − 4 als 2(x + 1)² − 6 met top (−1, −6) en lost x² − 5x + 6 = 0 op door ontbinden. Je vult kwadraten aan zoals al-Khwarizmi, gebruikt de discriminant om ascontact te onderzoeken en bepaalt wanneer een geworpen bal zijn top bereikt en landt.

  1. 1De paraboolKwadrateer −3 tot 3: je krijgt 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. De punten vormen een U, een parabool.
  2. 2Topvormf(x) = 2x² + 4x − 4 en f(x) = 2(x + 1)² − 6 zijn dezelfde functie; alleen de tweede toont direct top (−1, −6).
  3. 3Oplossen door ontbinden in factorenAls (x − 2)(x + 3) = 0, dan x − 2 = 0 of x + 3 = 0: oplossingen 2 en −3. Geen ander getal maakt het product nul.
  4. 4De abc-formuleAl-Khwarizmi loste rond 800 x² + 10x = 39 op met kwadraatafsplitsen. De abc-formule voert dezelfde stappen eenmaal voor alle a, b en c uit.
  5. 5De discriminantBij x² + 2x + 5 = 0 is b² − 4ac = 4 − 20 = −16. Dat negatieve getal vertelt zonder oplossen dat de parabool de x-as nooit raakt.
  6. 6Een geworpen balEen bal vanaf een dak van 40 foot met 80 feet per seconde omhoog bereikt na 2.5 seconden 140 feet en landt na ongeveer 5.46 seconden.

Verwante cursussen

  • Lineaire vergelijkingen
    Acht hoofdstukken over vergelijkingen zoals 3x + 5 = 20: wat een oplossing is, de vier eigenschappen van gelijkheid, vergelijkingen met de variabele aan beide kanten, de algemene aanpak, breuken en kommagetallen, en formules. In een grafieklab zie je elk lid van een vergelijking als lijn, zodat je de oplossing kunt zien waar de lijnen elkaar snijden.
  • Grafieken van lijnen
    Zes eenheden over het coördinatenvlak en rechte lijnen: geordende paren plotten, een vergelijking tekenen vanuit een tabel of de snijpunten met de assen, de helling als stijging gedeeld door verschuiving, y = mx + b, de vergelijking van een lijn vinden, en twee vergelijkingen oplossen door te zien waar hun lijnen elkaar kruisen. Elke eenheid heeft een grafieklab om te slepen en te testen.
  • Functies
    Zes hoofdstukken: wanneer een regel een functie is, domein en bereik, grafieken lezen, verschuiven en rekken, functies in elkaar zetten en functies omkeren. Elk hoofdstuk heeft een functielab, van de verticale-lijntest tot spiegelen in y = x.
  • Breuken · Getallen en rekenen
    Tien hoofdstukken over breuken, van gelijke delen van één geheel tot het delen van een breuk door een andere breuk. Elk hoofdstuk heeft tekeningen, een breukenstrook om in te kleuren, uitgewerkte voorbeelden en 10 tot 14 oefenvragen met de berekening erbij.
Bronnen van deze cursus (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

Geraadpleegd: 2026-10-18