edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Algebra›Kwadratische functies en vergelijkingen

De abc-formule

Al-Khwarizmi loste rond 800 x² + 10x = 39 op met kwadraatafsplitsen. De abc-formule voert dezelfde stappen eenmaal voor alle a, b en c uit.

Een vierkant getekend rond 800

AchtergrondVolgens MacTutor zouden Babyloniërs rond 1800 v.Chr. kwadratische vergelijkingen hebben opgelost, maar zij kenden het begrip vergelijking niet. Ze hadden een stappenplan voor zulke opgaven: in wezen kwadraatafsplitsen, met positieve antwoorden, meestal lengtes. Brahmagupta (598 tot 665) gaf een bijna moderne methode met negatieve hoeveelheden. Al-Khwarizmi schreef rond 800 zonder nul of negatieven, verdeelde kwadratische opgaven in zes typen en gaf elk een regel met voorbeeld zoals x² + 10x = 39. Hij bewees ze meetkundig door een vierkant aan te vullen, zoals hieronder. In 1145 werd Abraham bar Hiyya's Liber embadorum het eerste in Europa verschenen boek met de volledige oplossing.

Voeg 25 toe en x² + 10x wordt een kwadraat

Veel kwadratische uitdrukkingen kun je niet met gehele getallen ontbinden. De methode die altijd werkt, is kwadraat afsplitsen. Begin met x² + 10x = 39. De linkerkant is bijna een volkomen kwadraat: (x + 5)² = x² + 10x + 25. Er ontbreekt dus 25. Tel aan beide kanten 25 op om de vergelijking in evenwicht te houden: x² + 10x + 25 = 64. Links staat nu (x + 5)², dus (x + 5)² = 64. Neem de wortels: x + 5 = 8 of x + 5 = −8. Dat geeft x = 3 of x = −13. Wat je moet optellen is altijd het kwadraat van de helft van de coëfficiënt van x.

Meetkundig: een vierkant met zijde x en twee stroken van 5 bij x vormen x² + 10x. Het hoekje van 5 bij 5 maakt een vierkant met zijde x + 5 en oppervlakte 39 + 25 = 64.

Dezelfde stappen met letters geven de formule

Doe hetzelfde met letters. Begin met ax² + bx + c = 0, deel door a, breng c/a over, tel aan beide kanten (b/(2a))² bij en trek de wortel. Je krijgt x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). ± geeft twee antwoorden: plus en min. Schrijf eerst de standaardvorm om a, b en c mét tekens af te lezen. Let op b: bij x² − 2x − 3 = 0 is b = −2, dus −b = 2.

Voorbeeld: x² − 2x − 3 = 0 geeft a = 1, b = −2, c = −3. Dan b² − 4ac = 4 + 12 = 16 en √16 = 4: x = (2 ± 4)/2, dus 3 of −1. Ontbinden geeft ook (x − 3)(x + 1) = 0. Probeer 2x² + 3x − 1 = 0, dat niet eenvoudig ontbindt: b² − 4ac = 9 + 8 = 17, dus x = (−3 ± √17)/4. Als kommagetallen ongeveer 0.281 en −1.781. Je krijgt exacte wortelantwoorden; een rekenmachine zet ze zo nodig om.

Welke methode kies je? Ontbreekt de x-term, zoals bij 5x² = 20, maak dan x² vrij en neem de wortels: x² = 4, x = ±2. Lukt ontbinden snel, doe dat dan. Gebruik anders de abc-formule, die altijd werkt. Stel in het practicum a, b en c op een willekeurige vergelijking in. Het paneel vult ze stap voor stap in de formule in. De groene stippen op de x-as zijn de oplossingen.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

y = 2x² + 3x − 1. De x-assnijpunten lossen 2x² + 3x − 1 = 0 op: ongeveer 0.281 en −1.781. Verander a, b en c voor andere vergelijkingen.
  1. Wat is de grootste oplossing van x² − 2x − 3 = 0?
  2. Wat is b in 3x² − 5x + 2 = 0?
  3. Wat is de positieve oplossing van x² + 10x = 39?
  4. Grootste oplossing van 2x² + 3x − 1 = 0, op twee decimalen?
  5. Grootste oplossing van x² + 4x + 1 = 0, op twee decimalen?
  6. Welk getal vult x² + 6x aan tot een kwadraat?
  7. Los x² − 6x + 9 = 0 op.
  8. Positieve oplossing van 5x² = 20?
  9. Wat staat onder de wortel in de abc-formule?
    • b² − 4ac
    • b² + 4ac
    • 4ac − b²
    • 2a
  10. Kleinste oplossing van 2x² − 7x + 3 = 0? Als breuk.
Abc-formulex = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Kwadraatafsplitsen bij x² + bxTel (b/2)² bij
WortelregelAls x² = k, dan x = ±√k
Voorbeeld van Al-Khwarizmix² + 10x = 39, x = 3
Veelgemaakte fouten
  • Bij x² − 4x − 5 = 0 invullen: −b = −4, met antwoorden 1 en −5. b is −4, dus −b is +4. b² − 4ac = 16 + 20 = 36: x = (4 ± 6)/2, dus 5 of −1. Vul 5 terug in: 25 − 20 − 5 = 0.
  • Alleen de wortel door 2a delen: x = −b ± √(b² − 4ac)/(2a). De breukstreep hoort onder de hele teller, inclusief −b. Bij 2x² + 4x − 6 = 0 is b² − 4ac = 16 + 48 = 64: x = (−4 ± 8)/4 = 1 of −3. Alleen 8 delen geeft −4 ± 2: −2 of −6, beide fout.
  • (x + 2)² = 9 oplossen als x + 2 = 3, dus alleen x = 1. Zowel 3 als −3 kwadrateert tot 9. x + 2 = ±3 geeft x = 1 of x = −5. Controle van de tweede: (−5 + 2)² = (−3)² = 9.
Voor de docentLeid de formule eenmaal klassikaal af via kwadraatafsplitsen en laat haar pas daarna vrij gebruiken. Wie de afleiding zag, begrijpt waarom 2a onder de hele teller staat. Vraag na elk antwoord om terug invullen: een vergeten minteken valt meteen op.
Belangrijkste punten
  • Kwadraatafsplitsen: tel (b/2)² bij x² + bx.
  • Abc-formule: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
  • Lees a, b en c mét tekens uit de standaardvorm.
  • Geen x-term: worteltrekken. Eenvoudige factoren: ontbinden. Anders: de formule.
Bronnen van deze cursus (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

Geraadpleegd: 2026-10-18