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Inicio›Álgebra›Funciones cuadráticas

La fórmula general

Al-Juarismi resolvió x² + 10x = 39 hacia el año 800 completando un cuadrado. La fórmula general son esos mismos pasos hechos una sola vez para cualquier a, b y c.

Un cuadrado dibujado hacia el año 800

ContextoMacTutor señala que a menudo se dice que los babilonios, hacia el 1800 a. C., resolvían ecuaciones cuadráticas, pero no tenían la idea de ecuación. Lo que tenían era una receta paso a paso para problemas que hoy escribiríamos como cuadráticos, y esa receta es en esencia completar el cuadrado, con respuestas siempre positivas porque solían ser longitudes. Brahmagupta (598 a 665) dio un método casi moderno que admitía cantidades negativas. Al-Juarismi, que escribía hacia el año 800 sin el cero ni los negativos, clasificó las ecuaciones cuadráticas en seis tipos, dio una regla para cada uno con un ejemplo numérico como x² + 10x = 39 y demostró cada regla completando un cuadrado de forma geométrica, muy parecido al dibujo de abajo. En 1145, el Liber embadorum de Abraham bar Hiyya fue el primer libro publicado en Europa que daba la solución completa.

Suma 25 y x² + 10x se convierte en un cuadrado

Muchas expresiones cuadráticas no se factorizan con números enteros. El método que siempre funciona es completar el cuadrado. Empieza con x² + 10x = 39. El lado izquierdo es casi un cuadrado perfecto: (x + 5)² = x² + 10x + 25, así que le falta 25. Suma 25 a los dos lados para mantener la ecuación equilibrada: x² + 10x + 25 = 64. Ahora el lado izquierdo es (x + 5)², así que (x + 5)² = 64. Saca raíces cuadradas: x + 5 = 8 o x + 5 = −8, lo que da x = 3 o x = −13. El número que hay que sumar siempre es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.

La imagen geométrica: un cuadrado de lado x y dos tiras de 5 por x forman x² + 10x. Añadir la esquina pequeña de 5 por 5 completa un cuadrado de lado x + 5 con área 39 + 25 = 64.

Los mismos pasos con letras dan la fórmula

Haz los mismos pasos con letras. Parte de ax² + bx + c = 0, divide entre a, pasa c/a al otro lado, suma (b/(2a))² a los dos lados y saca raíces cuadradas. El resultado es la fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). El signo ± indica dos respuestas, una con más y otra con menos. Para usarla, escribe primero la ecuación en forma estándar para leer a, b y c con sus signos. Ojo con b. En x² − 2x − 3 = 0, b = −2, así que −b = 2.

Ejemplo resuelto: x² − 2x − 3 = 0 tiene a = 1, b = −2, c = −3. Entonces b² − 4ac = 4 + 12 = 16 y √16 = 4, así que x = (2 ± 4)/2, que es 3 o −1. Factorizar da el mismo resultado, (x − 3)(x + 1) = 0. Ahora prueba 2x² + 3x − 1 = 0, que no se factoriza de forma sencilla: b² − 4ac = 9 + 8 = 17, así que x = (−3 ± √17)/4. En decimales, x ≈ 0.281 o x ≈ −1.781. La fórmula te da respuestas exactas con una raíz cuadrada, y una calculadora las convierte en decimales cuando los necesitas.

¿Qué método conviene elegir? Si la ecuación no tiene término en x, como 5x² = 20, aísla x² y saca raíces cuadradas: x² = 4, x = ±2. Si se factoriza rápido, factoriza. Si no, usa la fórmula, que nunca falla. En el laboratorio, pon a, b y c de cualquier ecuación y el panel los sustituye en la fórmula paso a paso; los puntos verdes del eje x son las soluciones.

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y = 2x² + 3x − 1. Sus abscisas al origen son las soluciones de 2x² + 3x − 1 = 0, unas 0.281 y −1.781. Cambia a, b y c para resolver otras ecuaciones.
  1. ¿Cuál es la solución mayor de x² − 2x − 3 = 0?
  2. En 3x² − 5x + 2 = 0, ¿cuánto vale b?
  3. ¿Cuál es la solución positiva de x² + 10x = 39?
  4. ¿Cuál es la solución mayor de 2x² + 3x − 1 = 0, con dos cifras decimales?
  5. ¿Cuál es la solución mayor de x² + 4x + 1 = 0, con dos cifras decimales?
  6. ¿Qué número completa el cuadrado de x² + 6x?
  7. Resuelve x² − 6x + 9 = 0.
  8. ¿Cuál es la solución positiva de 5x² = 20?
  9. En la fórmula general, ¿qué hay bajo la raíz cuadrada?
    • b² − 4ac
    • b² + 4ac
    • 4ac − b²
    • 2a
  10. ¿Cuál es la solución menor de 2x² − 7x + 3 = 0? Escríbela como fracción.
Fórmula generalx = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Completar el cuadrado de x² + bxSuma (b/2)²
Propiedad de la raíz cuadradaSi x² = k, entonces x = ±√k
El ejemplo de al-Juarismix² + 10x = 39, x = 3
Errores frecuentes
  • En x² − 4x − 5 = 0, poner −b = −4 en la fórmula y obtener 1 y −5. b es −4, así que −b es +4. Entonces b² − 4ac = 16 + 20 = 36 y x = (4 ± 6)/2, que es 5 o −1. Sustituye 5: 25 − 20 − 5 = 0.
  • Dividir entre 2a solo la raíz cuadrada: x = −b ± √(b² − 4ac)/(2a). La raya de fracción va bajo todo el numerador, −b incluido. Para 2x² + 4x − 6 = 0, b² − 4ac = 16 + 48 = 64, así que x = (−4 ± 8)/4 = 1 o −3. Dividir solo el 8 da −4 ± 2, es decir, −2 o −6, y ninguno cumple la ecuación.
  • Resolver (x + 2)² = 9 como x + 2 = 3, así que x = 1 y nada más. Tanto 3 como −3 dan 9 al cuadrado. x + 2 = ±3 da x = 1 o x = −5. Comprueba la segunda: (−5 + 2)² = (−3)² = 9.
Nota para docentesDeduce la fórmula una vez completando el cuadrado, delante de la clase, y solo entonces deja que la usen libremente. Quien ha visto la deducción sabe por qué 2a va debajo de todo el numerador. Después de cada respuesta obtenida con la fórmula, pide una comprobación por sustitución. Un signo menos perdido aparece enseguida.
Ideas clave
  • Completar el cuadrado: suma (b/2)² a x² + bx.
  • Fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
  • Lee a, b y c con sus signos a partir de la forma estándar.
  • Sin término en x: usa raíces cuadradas. Factores fáciles: factoriza. Si no: la fórmula.
Fuentes de este curso (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

Fecha de consulta: 2026-10-18