El discriminante

Para x² + 2x + 5 = 0, b² − 4ac = 4 − 20 = −16. Un solo número negativo te dice, antes de resolver nada, que la parábola nunca toca el eje x.

¿Llegará a 5 metros el chorro de la fuente?

Imagina una fuente en un parque. El chorro sale de una boquilla en el suelo y cae a 4 metros, y a x metros de la boquilla su altura es y = −x² + 4x metros. (La fuente y sus números son inventados.) ¿Llega el agua a 5 metros? Plantea −x² + 4x = 5 y ordénalo: x² − 4x + 5 = 0. Entonces b² − 4ac = 16 − 20 = −4. Negativo. Ningún x real funciona, así que el agua nunca llega tan alto. Prueba con 3 metros. x² − 4x + 3 = 0 da 16 − 12 = 4, así que el chorro pasa por esa altura dos veces, en x = 1 y x = 3. A 4 metros el número es 16 − 16 = 0, y el chorro toca esa altura una sola vez, en su punto más alto, x = 2. Para responder la primera pregunta no hizo falta ninguna raíz, solo el signo de b² − 4ac.

b² − 4ac decide cuántas soluciones hay

En la fórmula general, la expresión b² − 4ac está bajo la raíz cuadrada. Se llama discriminante, porque discrimina, es decir, distingue, los tipos de soluciones que tiene una ecuación. Su signo lo decide todo. Si es positivo, la raíz cuadrada es un número real y el ± da dos soluciones distintas. Si es cero, el ± no suma ni resta nada, así que las dos respuestas son el mismo número. Si es negativo, no hay ninguna raíz cuadrada real, y la ecuación no tiene soluciones reales.

OpenStax divide el caso positivo en dos. Cuando b² − 4ac es un cuadrado perfecto positivo como 1, 16 o 25, su raíz cuadrada es un número entero y las dos soluciones son racionales, así que la ecuación también se podría haber factorizado. Cuando es positivo pero no es un cuadrado perfecto, como 5 o 17, las soluciones contienen una raíz cuadrada irracional. La tabla reúne los cuatro casos. En el caso negativo las soluciones son números complejos, que incluyen la raíz cuadrada de un número negativo; corresponden a un curso posterior y no aparecen en una gráfica de números reales.

Dos cortes, un toque o ninguno

Las soluciones de ax² + bx + c = 0 son las abscisas al origen de y = ax² + bx + c, así que el discriminante también cuenta las abscisas al origen. Un discriminante positivo significa que la parábola corta el eje x dos veces. Cero significa que solo toca el eje en su vértice; por eso el vértice de y = (x − 3)² está sobre el eje. Un discriminante negativo significa que toda la parábola queda por encima del eje (si a > 0) o por debajo (si a < 0). Para y = 2x² − 3x + 5, b² − 4ac = 9 − 40 = −31, y como a > 0 la curva flota por encima del eje.

Hacia atrás: ¿qué c hace que la curva toque el eje?

Como el discriminante es una fórmula en a, b y c, puedes trabajar hacia atrás. ¿Qué c hace que x² − 6x + c toque el eje x exactamente una vez? Iguala el discriminante a cero: 36 − 4c = 0, así que c = 9, y en efecto x² − 6x + 9 = (x − 3)². ¿Qué k positivo da a x² + kx + 9 = 0 una raíz doble? k² − 36 = 0, así que k = 6. La pregunta de la fuente usó la misma costumbre. Pregunta si existe una solución antes de gastar tiempo en buscarla.

El laboratorio empieza en y = x² − 4x + 4, cuyo discriminante es 0. Baja c en uno y el discriminante se vuelve positivo: aparecen dos cortes. Sube c y se vuelve negativo: la parábola se despega del eje. Mira el panel: calcula b² − 4ac con tus números y nombra el caso.