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ホーム›代数›二次関数と二次方程式

判別式

x² + 2x + 5 = 0では、b² − 4ac = 4 − 20 = −16です。この負の数だけで、解く前から放物線がx軸に触れないと分かります。

噴水の水は高さ5メートルに届きますか

公園の噴水を思い浮かべましょう。地面のノズルから出た水は4メートル先に落ち、ノズルからxメートルの位置での高さはy = −x² + 4xメートルです。（噴水も数値も架空です。）5メートルに届くでしょうか。−x² + 4x = 5を整理するとx² − 4x + 5 = 0で、b² − 4ac = 16 − 20 = −4です。負なので、条件に合う実数xはなく、その高さには届きません。3メートルならx² − 4x + 3 = 0で16 − 12 = 4なので、x = 1とx = 3の2か所で通ります。4メートルなら16 − 16 = 0で、頂上のx = 2で1回だけ触れます。最初の問いには解を1つも求めず、b² − 4acの符号だけで答えられました。

b² − 4acで解の個数が決まります

解の公式で平方根の中にあるb² − 4acを判別式と呼びます。方程式の解の種類を判別する式だからです。決め手は符号です。正なら平方根は実数になり、±から異なる2つの解が出ます。0なら足しても引いても変わらないため、2つの答えは同じ数です。負なら実数の平方根はなく、方程式には実数解がありません。

OpenStaxは正の場合をさらに2つに分けます。b² − 4acが1、16、25のような正の平方数なら平方根は整数で、2つの解は有理数なので因数分解でも解けます。5や17のように正でも平方数でなければ、解は無理数の平方根を含みます。表に4通りをまとめました。負の場合の解は、負の数の平方根を含む複素数です。後の課程で扱うもので、実数のグラフには現れません。

b² − 4ac解例
正の平方数有理数の解が2つ、x軸との交点が2つx² − 5x + 6: 1
正だが平方数ではない数無理数の解が2つ、x軸との交点が2つx² + x − 1: 5
ゼロ重解が1つ、頂点で接するx² − 4x + 4: 0
負の数実数解なし、x軸との交点なしx² + 2x + 5: −16

2か所で交わる、1か所で接する、交わらない

2か所で交わる、頂点の1か所で接する、または交わりません。Dは判別式b² − 4acを表します。

ax² + bx + c = 0の解はy = ax² + bx + cとx軸との交点のx座標なので、判別式から交点の個数も分かります。正なら2か所で交わり、0なら頂点で接します。y = (x − 3)²の頂点が軸上にあるのもそのためです。負なら放物線全体が軸より上（a > 0）か下（a < 0）にあります。y = 2x² − 3x + 5ではb² − 4ac = 9 − 40 = −31で、a > 0なので曲線は軸より上に浮いています。

逆に考える：どのcなら曲線が軸に接しますか

判別式はa、b、cの式なので、逆に考えられます。x² − 6x + cがx軸にちょうど1回触れるcは何でしょうか。判別式を0とすると36 − 4c = 0からc = 9で、確かにx² − 6x + 9 = (x − 3)²です。x² + kx + 9 = 0が重解を持つ正のkは、k² − 36 = 0よりk = 6です。噴水の問題も同じ考え方でした。解を探すのに時間をかける前に、そもそも存在するか確かめましょう。

実験画面は判別式0のy = x² − 4x + 4から始まります。cを1下げると判別式は正になり、2つの交点が現れます。cを上げると負になり、放物線は軸から離れます。パネルでは設定した数値でb² − 4acを計算し、どの場合かを示します。

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y = x² − 4x + 4の判別式は16 − 16 = 0で、頂点(2, 0)がx軸に接します。cを3や5にして符号の変化を見ましょう。
  1. x² − 5x + 6 = 0の判別式はいくつですか。
  2. 3x² + 2x − 1 = 0の判別式はいくつですか。
  3. 2x² − 3x + 5 = 0の判別式はいくつですか。
  4. x² − 4x + 4 = 0の実数解はいくつありますか。
    • 1つ（重解）
    • 二つ
    • なし
    • 無数にあります
  5. x² + x − 1 = 0の解はどの種類ですか。
    • 無理数解が二つ
    • 有理数解が二つ
    • 一つの重解
    • 実数解はありません
  6. x² + 2x + 5 = 0の解はどの種類ですか。
    • 実数解はありません
    • 有理数解が二つ
    • 無理数解が二つ
    • 一つの重解
  7. x² + kx + 9 = 0の解がちょうど1つになる、正のkはいくつですか。
  8. y = −x² + 4x − 5とx軸との交点はいくつありますか。
  9. y = x² − 6x + cがx軸にちょうど1回触れるcはいくつですか。
  10. 二次方程式の判別式が49です。解はどの種類ですか。
    • 有理数解が二つあります
    • 無理数解が二つあります
    • 一つの重解
    • 実数解はありません
よくある間違い
  • b = −5のとき、b² = −25とします。 負の数を2乗すると正になります。(−5)² = (−5) × (−5) = 25です。x² − 5x + 4 = 0でこの間違いをすると−25 − 16 = −41となり「実数解なし」と判定してしまいますが、正しくは25 − 16 = 9で、1と4がどちらも解です。
  • cが負でも−4acを負として、x² + 4x − 5 = 0で16 − 20 = −4とします。 −4(1)(−5) = +20なので、b² − 4ac = 16 + 20 = 36で、解は1と−5です。aとcが異符号なら−4acは正なので、判別式は正となり、実数解が必ず2つあります。
  • 判別式0は解がないことだと考えます。 0は1つの重解があることを意味します。x² − 8x + 16 = 0ではb² − 4ac = 64 − 64 = 0で、x = 4です。実数解がないのは判別式が負の場合です。
  • 判別式が負なら、解が負だと考えます。 判別式の符号から解の符号は分かりません。x² + 4x + 3 = 0ではb² − 4ac = 16 − 12 = 4と正ですが、解−1と−3は両方とも負です。
先生からひとこと韓国の2022年国家教育課程では、解の公式は中学校、判別式という用語と実数でない解は高校の「共通数学1」で扱います。年下の生徒でも、名前を使わず平方根の中の符号は読めます。噴水など高さの問題から始め、名前を付ける前に符号の意味が分かるようにしましょう。
ポイント
  • 判別式は平方根の中のb² − 4acです。
  • 正：実数解が2つ（平方数なら有理数）。0：重解が1つ。負：実数解なし。
  • x軸との交点の個数も2、1、0と分かります。
  • 判別式を0として、放物線が軸に接する値を求めます。
このコースの出典 (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

確認日: 2026-10-18