放物線
−3から3までの整数を2乗すると、9、4、1、0、1、4、9になります。点を打つと、放物線と呼ばれるU字型の曲線になります。
aを2、1/2、−1に変えてみましょう
まず定義を読む前に、実験室で確かめましょう。動かない破線のy = x²と、変化する曲線が並んでいます。aを2にすると曲線は細くなり、x = 2で早くも8に達します。次は1/2、そして−1を試してください。一方はU字を広げ、もう一方は上下を逆にします。この3つの形を覚えておきましょう。以下では、その理由を考えます。
ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。
−2と2で高さが同じになるのはなぜ？
xが一次の項にしか現れない方程式のグラフは直線です。x²が入るとグラフは曲がります。最も単純な例がy = x²です。表を作ると、x = −3で9、x = −2で4、x = −1で1、x = 0で0となり、x = 1、2、3では同じ値が逆の順序で現れます。負の数を二乗すると正になるため、−2と2のように異なる入力から同じ出力が得られます。点を滑らかな曲線で結ぶと、原点を最も低い点とするU字になります。原点から左右に離れるほど急に上がります。
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
f(x) = ax² + bx + cと表せ、aが0でない関数を二次関数といいます。OpenStaxではこれを一般形と呼びます。グラフは必ず放物線です。aが0ならx²の項が消えて直線になるため、この条件が必要です。bとcは0でもかまいません。y = x²、y = 3x² − 5、y = −x² + 4xはいずれも二次関数です。x = 0を代入するとcだけが残るので、cは放物線がy軸と交わる位置、つまりy切片です。
x = 1で折ると、曲線の左右が重なります
放物線には向きが変わる点が1つあり、頂点といいます。上に開くとき頂点は最も低く、そのy座標が関数の最小値です。下に開くときは最も高く、最大値になります。頂点を通る縦の直線が対称軸です。グラフをこの線で折ると左右が重なります。曲線上の点が1つわかれば、軸に関して対称な点も求められます。横から見たバスケットボールのシュートも、これに近い弧を描きます。その頂上が頂点です。
a = 2で細くなり、a = −1で上下が逆になる理由
aの符号が開く向きを決めます。a > 0ならU字型に上に開き、a < 0なら逆さに開きます。aの大きさは幅を決めます。y = 2x²の出力はy = x²の2倍なので、急に上がって幅が狭く見えます。x = 2ではすでに8です。y = (1/2)x²では出力が半分になり、幅は広くなります。x = 2でも高さは2です。|a|が大きいほど幅は狭く、小さいほど広くなります。冒頭の実験室で、a = 2の曲線はy軸に寄り、1/2では広がり、−1では上下が逆になりました。
- f(x) = x²のとき、f(−4)はいくつですか。
- y = 3x²で、x = −2のときyはいくつですか。
- 下に開く放物線はどれですか。
- y = −2x² + 1
- y = 2x² − 1
- y = x² − 9
- y = (1/2)x²
- 幅が最も狭い放物線はどれですか。
- y = 3x²
- y = x²
- y = (1/2)x²
- y = −(1/3)x²
- y = x² − 4x + 7のy軸との交点のy座標はいくつですか。
- 放物線の対称軸はx = 3で、点(1, 5)を通ります。必ず通るもう1つの点はどれですか。
- (5, 5)
- (1, −5)
- (3, 5)
- (−1, 5)
- y = x² + 2の頂点はどこですか。
- (0, 2)
- (2, 0)
- (0, −2)
- (−2, 0)
- 二次関数はどれですか。
- y = 5 − x²
- y = 4x − 3
- y = 7
- y = 2/x
- y = −x² + 4の最大値はいくつですか。
- y = x² − 1で、x = −2のときyはいくつですか。（x = 2のときと同じ値です。）
| 放物線 | 二次関数のU字形のグラフ |
| 頂点 | 曲線が折り返す点：a > 0なら最も低く、a < 0なら最も高い点 |
| 対称軸 | 頂点を通る縦の直線 |
| ax² + bx + cのy切片 | (0, c) |
- y = x²でx = −3の点を求めるとき、−3² = −9とします。 −3²は−(3²)を意味します。入力は−3全体なので、(−3)² = 9とし、点は(−3, 9)です。負の入力値を2乗するときは、括弧で囲みましょう。
- −2は1より小さいので、y = −2x²はy = x²より幅が広いと考えます。 幅はaではなく|a|によります。|−2| = 2は1より大きいため、y = −2x²のほうが狭くなります。負の符号は上下を逆にするだけです。
- y = (x − 1)² − 2のy切片を−2と読み取ります。 cがy切片になるのはax² + bx + cの形のときだけです。ここではx = 0を代入します。(0 − 1)² − 2 = 1 − 2 = −1なので、図のようにy軸との交点は(0, −1)です。
- a ≠ 0のとき、f(x) = ax² + bx + cは二次関数で、そのグラフは放物線です。
- a > 0なら上、a < 0なら下に開き、|a|が大きいほど幅が狭くなります。
- 頂点は最も低い点または最も高い点で、対称軸はそこを通ります。
- y軸との交点は(0, c)です。
このコースの出典 (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
確認日: 2026-10-18