Die Parabel
Quadriere die Zahlen von −3 bis 3: Du erhältst 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. Als Punkte ergeben sie eine U-förmige Kurve, die Parabel.
Stelle a auf 2, dann auf 1/2 und schließlich auf −1
Beginne im Labor, bevor du die Definitionen liest. Neben y = x² siehst du eine gestrichelte Kopie, die sich nicht verändert. Stelle a auf 2: Die Kurve wird schmaler und erreicht bei x = 2 bereits den Wert 8. Probiere jetzt 1/2 und dann −1. Ein Wert macht die Kurve breiter, der andere dreht sie um. Merke dir diese drei Bilder; im Folgenden erfährst du, warum die Kurven so aussehen.
Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.
Warum liegen −2 und 2 auf derselben Höhe?
Geraden entstehen aus Gleichungen, in denen x nur in der ersten Potenz vorkommt. Steht auch x² in der Gleichung, krümmt sich der Graph. Das einfachste Beispiel ist y = x². Erstelle eine Wertetabelle: Für x = −3 ergibt sich 9, für x = −2 der Wert 4, für x = −1 der Wert 1 und für x = 0 der Wert 0. Bei x = 1, 2 und 3 kehren dieselben Werte in umgekehrter Reihenfolge zurück. Unterschiedliche Eingaben wie −2 und 2 liefern denselben Wert, weil das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist. Verbinde die Punkte zu einer glatten Kurve: Du erhältst ein U, das am Ursprung am tiefsten liegt und auf beiden Seiten immer steiler ansteigt.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Eine Funktion, die sich als f(x) = ax² + bx + c mit a ungleich 0 schreiben lässt, heißt quadratische Funktion. OpenStax nennt dies die allgemeine Form. Ihr Graph ist immer eine Parabel. Wäre a gleich 0, fiele der Term mit x² weg und der Graph wäre eine Gerade. Deshalb ist die Bedingung wichtig. b und c dürfen dagegen 0 sein: y = x², y = 3x² − 5 und y = −x² + 4x sind alles quadratische Funktionen. Setzt du x = 0, bleibt nur c übrig. c ist also der y-Achsenabschnitt, an dem die Parabel die y-Achse schneidet.
Falte den Graphen bei x = 1: Beide Hälften decken sich
Jede Parabel hat genau einen Wendepunkt ihrer Richtung, den Scheitelpunkt. Ist sie nach oben geöffnet, liegt er am tiefsten und sein y-Wert ist das Minimum der Funktion. Ist sie nach unten geöffnet, liegt er am höchsten und liefert das Maximum. Die senkrechte Gerade durch den Scheitelpunkt heißt Symmetrieachse. Faltest du den Graphen entlang dieser Linie, liegen die Hälften aufeinander. Das erspart Arbeit: Kennst du einen Punkt der Kurve, erhältst du durch Spiegelung an der Achse einen weiteren. Die Flugbahn eines Basketballs ähnelt von der Seite gesehen einem solchen Bogen. Sein höchster Punkt ist der Scheitelpunkt.
Warum a = 2 eine schmale Kurve und a = −1 eine umgedrehte Kurve ergibt
Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnungsrichtung. Bei a > 0 öffnet sich die Parabel nach oben, bei a < 0 nach unten. Der Betrag von a bestimmt ihre Breite. Bei y = 2x² ist jeder Funktionswert doppelt so groß wie bei y = x²: Die Kurve steigt schneller und ist schmaler. Für x = 2 erreicht sie bereits 8. Bei y = (1/2)x² halbieren sich die Werte und die Kurve ist breiter: Für x = 2 beträgt der Wert nur 2. Je größer |a|, desto schmaler die Parabel; je kleiner |a|, desto breiter. Genau das zeigte das Labor: Mit a = 2 lag die Kurve nahe an der y-Achse, mit 1/2 breitete sie sich aus, und mit −1 wurde sie umgedreht.
- Für f(x) = x²: Wie viel ist f(−4)?
- Für y = 3x²: Wie groß ist y bei x = −2?
- Welche Parabel ist nach unten geöffnet?
- y = −2x² + 1
- y = 2x² − 1
- y = x² − 9
- y = (1/2)x²
- Welche Parabel ist am schmalsten?
- y = 3x²
- y = x²
- y = (1/2)x²
- y = −(1/3)x²
- Welchen y-Achsenabschnitt hat y = x² − 4x + 7? Gib den y-Wert an.
- Eine Parabel hat die Symmetrieachse x = 3 und geht durch (1, 5). Welcher weitere Punkt muss auf ihr liegen?
- (5, 5)
- (1, −5)
- (3, 5)
- (−1, 5)
- Wo liegt der Scheitelpunkt von y = x² + 2?
- (0, 2)
- (2, 0)
- (0, −2)
- (−2, 0)
- Welche davon ist eine quadratische Funktion?
- y = 5 − x²
- y = 4x − 3
- y = 7
- y = 2/x
- Was ist der maximale Wert von y = −x² + 4?
- Wie groß ist y auf y = x² − 1 bei x = −2? (Es ist derselbe Wert wie bei x = 2.)
| Parabel | Der U-förmige Graph einer quadratischen Funktion |
| Scheitelpunkt | Der Umkehrpunkt: tiefster Punkt bei a > 0, höchster bei a < 0 |
| Symmetrieachse | Die senkrechte Gerade durch den Scheitelpunkt |
| y-Achsenabschnitt von ax² + bx + c | (0, c) |
- Für den Punkt bei x = −3 auf y = x² wird −3² = −9 gerechnet. −3² bedeutet −(3²). Eingesetzt wird aber die ganze Zahl −3. Deshalb brauchst du (−3)² = 9, und der Punkt ist (−3, 9). Setze negative Eingabewerte vor dem Quadrieren in Klammern.
- y = −2x² wird breiter als y = x² genannt, weil −2 kleiner als 1 ist. Die Breite hängt von |a| ab, nicht von a. |−2| = 2 ist größer als 1, also ist y = −2x² schmaler. Das Minuszeichen spiegelt die Parabel nur nach unten.
- Der y-Achsenabschnitt von y = (x − 1)² − 2 wird als −2 abgelesen. c ist nur in der Form ax² + bx + c der y-Achsenabschnitt. Setze hier stattdessen x = 0 ein: (0 − 1)² − 2 = 1 − 2 = −1. Die Kurve schneidet die y-Achse also bei (0, −1), wie in der Abbildung.
- f(x) = ax² + bx + c mit a ≠ 0 ist eine quadratische Funktion; ihr Graph ist eine Parabel.
- a > 0: nach oben geöffnet; a < 0: nach unten geöffnet. Größeres |a| bedeutet schmaler.
- Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt; die Symmetrieachse geht durch ihn.
- Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist (0, c).
Quellen zu diesem Kurs (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Abgerufen: 2026-10-18