Parabola
Kuadratkan bilangan dari −3 sampai 3. Hasilnya 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. Jika digambar, titik-titiknya membentuk huruf U yang disebut parabola.
Atur a menjadi 2, lalu 1/2, lalu −1
Mulai dari laboratorium, bukan definisi. Di sana tampak y = x² di samping salinan bergaris putus-putus yang tetap di tempat. Atur a menjadi 2. Kurva menyempit, dan pada x = 2 nilainya sudah mencapai 8. Sekarang coba 1/2, lalu −1. Yang satu melebarkan bentuk mangkuk; yang lain membalikkannya. Ingat ketiga gambar itu, karena penjelasan berikut membahas apa yang kamu lihat.
Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.
Mengapa −2 dan 2 menghasilkan tinggi yang sama
Garis lurus berasal dari persamaan yang hanya memuat x berpangkat satu. Masukkan x² ke dalam persamaan, dan grafiknya melengkung. Contoh paling sederhana ialah y = x². Buat tabel: x = −3 menghasilkan 9, x = −2 menghasilkan 4, x = −1 menghasilkan 1, x = 0 menghasilkan 0, lalu keluaran yang sama muncul dalam urutan terbalik untuk x = 1, 2, dan 3. Dua masukan berbeda, seperti −2 dan 2, memiliki keluaran yang sama karena kuadrat bilangan negatif bernilai positif. Hubungkan titik-titik itu dengan kurva mulus. Terbentuk huruf U yang paling rendah di titik asal dan naik makin cepat di kedua sisi.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Fungsi yang dapat ditulis sebagai f(x) = ax² + bx + c, dengan a tidak sama dengan 0, disebut fungsi kuadrat. OpenStax menyebut penulisan ini bentuk umum. Grafiknya selalu berupa parabola. Jika a bernilai 0, suku x² hilang dan grafiknya kembali menjadi garis lurus. Itulah pentingnya syarat tersebut. Bilangan b dan c boleh nol: y = x², y = 3x² − 5, dan y = −x² + 4x semuanya fungsi kuadrat. Saat x = 0, hanya c yang tersisa. Jadi c adalah nilai titik potong sumbu y, yaitu tempat parabola memotong sumbu y.
Lipat kurva sepanjang x = 1, kedua bagiannya berimpit
Setiap parabola memiliki satu titik balik, yaitu titik puncak. Jika parabola terbuka ke atas, titik puncak adalah titik terendah dan koordinat y-nya merupakan nilai minimum fungsi. Jika terbuka ke bawah, titik puncak menjadi titik tertinggi dan memberikan nilai maksimum. Sebuah garis tegak melalui titik puncak disebut sumbu simetri. Lipat grafik sepanjang garis itu, maka kedua bagiannya berimpit. Ini menghemat pekerjaan. Setelah mengetahui satu titik pada kurva, kamu langsung mendapat titik kedua dengan mencerminkannya terhadap sumbu. Lemparan bola basket yang dilihat dari samping mendekati lengkungan serupa, dan bagian tertingginya adalah titik puncak.
Mengapa a = 2 menyempit dan a = −1 terbalik
Tanda a menentukan arah buka. Jika a > 0, parabola terbuka ke atas seperti mangkuk; jika a < 0, parabola terbuka ke bawah seperti mangkuk terbalik. Besar a menentukan lebar. Pada y = 2x², setiap keluaran dua kali keluaran y = x², sehingga kurva naik dua kali lebih cepat dan tampak lebih sempit: pada x = 2 nilainya sudah 8. Pada y = (1/2)x², keluarannya menjadi setengah sehingga kurva lebih lebar: pada x = 2 nilainya baru 2. Makin besar |a|, makin sempit parabola; makin kecil |a|, makin lebar. Itulah yang ditunjukkan laboratorium di atas. Saat a = 2 kurva mendekati sumbu y, saat 1/2 kurva melebar, dan saat −1 mangkuknya terbalik.
- Untuk f(x) = x², berapakah f(−4)?
- Untuk y = 3x², berapakah y saat x = −2?
- Parabola mana yang terbuka ke bawah?
- y = −2x² + 1
- y = 2x² − 1
- y = x² − 9
- y = (1/2)x²
- Parabola mana yang paling sempit?
- y = 3x²
- y = x²
- y = (1/2)x²
- y = −(1/3)x²
- Di mana y = x² − 4x + 7 memotong sumbu y? Tuliskan nilai y-nya.
- Parabola memiliki sumbu simetri x = 3 dan melalui (1, 5). Titik lain mana yang pasti dilaluinya?
- (5, 5)
- (1, −5)
- (3, 5)
- (−1, 5)
- Di mana titik puncak y = x² + 2?
- (0, 2)
- (2, 0)
- (0, −2)
- (−2, 0)
- Manakah yang merupakan fungsi kuadrat?
- y = 5 − x²
- y = 4x − 3
- y = 7
- y = 2/x
- Berapakah nilai maksimum y = −x² + 4?
- Pada y = x² − 1, berapakah y saat x = −2? (Nilainya sama dengan saat x = 2.)
| Parabola | Grafik fungsi kuadrat yang berbentuk U |
| Titik puncak | Titik balik: paling rendah jika a > 0, paling tinggi jika a < 0 |
| Sumbu simetri | Garis tegak melalui titik puncak |
| Nilai titik potong sumbu y pada ax² + bx + c | (0, c) |
- Menulis −3² = −9 untuk titik dengan x = −3 pada y = x². −3² berarti −(3²). Masukannya adalah seluruh bilangan −3, sehingga yang diperlukan (−3)² = 9 dan titiknya (−3, 9). Beri tanda kurung pada masukan negatif sebelum menguadratkannya.
- Menganggap y = −2x² lebih lebar daripada y = x² karena −2 lebih kecil daripada 1. Lebar bergantung pada |a|, bukan a. |−2| = 2 lebih besar daripada 1, jadi y = −2x² lebih sempit. Tanda minus hanya membalik arah bukanya.
- Membaca nilai titik potong sumbu y pada y = (x − 1)² − 2 sebagai −2. c hanya menunjukkan nilai titik potong sumbu y jika fungsi ditulis sebagai ax² + bx + c. Di sini, masukkan x = 0: (0 − 1)² − 2 = 1 − 2 = −1, sehingga kurva memotong sumbu y di (0, −1), seperti pada gambar.
- f(x) = ax² + bx + c dengan a ≠ 0 merupakan fungsi kuadrat; grafiknya berupa parabola.
- a > 0 terbuka ke atas, a < 0 terbuka ke bawah; makin besar |a|, makin sempit.
- Titik puncak adalah titik terendah atau tertinggi; sumbu simetri melaluinya.
- Titik potong sumbu y adalah (0, c).
Sumber kursus ini (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Diperiksa: 2026-10-18