edubun
Bahasa Indonesia
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Beranda›Aljabar›Persamaan dan fungsi kuadrat

Bola yang dilempar

Bola yang dilempar ke atas dengan kecepatan 80 kaki per detik dari atap setinggi 40 kaki mencapai 140 kaki setelah 2.5 detik dan jatuh ke tanah setelah sekitar 5.46 detik.

Kapan bola paling tinggi, dan kapan menyentuh tanah?

Dua pertanyaan dahulu, gunakan pensil jika ada. Bola yang dilempar lurus ke atas dari atap setinggi 40 kaki dengan kecepatan 80 kaki per detik memiliki tinggi H(t) = −16t² + 80t + 40 setelah t detik. Kapan bola paling tinggi? Kapan menyentuh tanah? Kedua jawaban memakai cara dari unit sebelumnya. Yang satu menggunakan titik puncak, yang lain menggunakan akar dari rumus kuadrat. Tulis jawabanmu dan bandingkan dengan perhitungan di bawah.

Arti −16, 80, dan 40

OpenStax memakai contoh ini: bola dilempar ke atas dari puncak gedung setinggi 40 kaki dengan kecepatan 80 kaki per detik. Tingginya dari tanah setelah t detik dimodelkan oleh H(t) = −16t² + 80t + 40. Tiap suku memiliki makna. Konstanta 40 adalah tinggi awal karena pada t = 0 hanya 40 yang tersisa. Suku 80t adalah tinggi yang dicapai bola jika kecepatan awalnya tetap. Suku −16t² menyatakan pengaruh gravitasi yang menariknya kembali dan bertambah lebih cepat daripada 80t. Itulah sebabnya bola akhirnya berbalik dan jatuh.

Dari mana 16 berasal? Gravitasi dekat permukaan tanah menambah kecepatan benda jatuh sekitar 32 kaki per detik setiap detik; nilai bakunya 9.80665 m/s², sekitar 32.174 ft/s². Jarak jatuh adalah setengah nilai itu dikalikan t², dan setengah dari 32 adalah 16. Dalam meter, model yang sama ditulis h(t) = −4.9t² + vt + h₀. Model ini mengabaikan hambatan udara, yang cukup masuk akal untuk bola berat selama beberapa detik, tetapi tidak untuk bulu.

Puncak: 140 kaki pada 2.5 detik

H(t) adalah fungsi kuadrat dengan a = −16, sehingga grafiknya terbuka ke bawah dan titik puncaknya adalah titik tertinggi. Waktu pada titik puncak t = −b/(2a) = −80/(2 × (−16)) = 80/32 = 2.5 detik. Tingginya H(2.5) = −16(6.25) + 80(2.5) + 40 = −100 + 200 + 40 = 140 kaki. Jadi bola naik selama dua setengah detik, mencapai puncak 140 kaki, lalu turun. Perhatikan bahwa rumus titik puncak menjawab pertanyaan fisika di sini: kapan bola berhenti naik?

Menyentuh tanah setelah sekitar 5.46 detik

Bola menyentuh tanah saat H(t) = 0, yaitu −16t² + 80t + 40 = 0. Persamaan ini tidak mudah difaktorkan, jadi gunakan rumus: t = (−80 ± √(80² − 4(−16)(40))) / (2(−16)) = (−80 ± √8960) / (−32). Kedua jawaban sekitar 5.458 dan sekitar −0.458. Waktu negatif berarti sebelum lemparan, di luar keadaan yang dijelaskan model. Jadi bola menyentuh tanah setelah sekitar 5.458 detik. Diskriminannya, 8960, positif, sesuai dengan grafik yang memotong sumbu waktu.

Grafik H terhadap t bukan lintasan bola. Bola ini bergerak lurus ke atas dan lurus ke bawah. Kurva menunjukkan tinggi pada satu sumbu dan waktu pada sumbu lainnya. Karena itu, OpenStax mengingatkan pembaca agar selalu memperhatikan besaran pada tiap sumbu. Tembakan bola basket ke ring juga bergerak menyamping dan lintasannya mendekati parabola, tetapi grafik ini bukan gambar lintasan tersebut. Di laboratorium, titik pada kolom kiri adalah bolanya sendiri.
Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

H(t) = −16t² + 80t + 40. Tekan Putar untuk melempar bola, atau seret pada grafik untuk memilih waktu. Ubah kecepatan dan tinggi awal; panel menghitung ulang titik tertinggi dan waktu menyentuh tanah.

Langkah titik puncak yang sama untuk pagar dan harga

Gagasan titik puncak juga menyelesaikan soal tanpa bola. Pada contoh OpenStax lainnya, seorang pekebun memiliki pagar sepanjang 80 kaki untuk tiga sisi persegi panjang, sedangkan pagar halaman menjadi sisi keempat. Jika tiap sisi yang tegak lurus pagar lama panjangnya L, sisi panjangnya 80 − 2L dan luasnya A(L) = L(80 − 2L) = 80L − 2L². Titik puncaknya pada L = −80/(2 × (−2)) = 20. Jadi kebun terbaik berukuran 20 kaki kali 40 kaki, dengan luas 800 kaki persegi. Model pendapatan surat kabar pada bagian yang sama mencapai maksimum pada harga $31.80 per langganan.

  1. Untuk H(t) = −16t² + 80t + 40, setelah berapa detik bola paling tinggi?
  2. Berapa tinggi maksimum bola itu, dalam kaki?
  3. Setelah berapa detik bola menyentuh tanah? Tuliskan dua angka di belakang titik desimal.
  4. Berapa tinggi bola setelah 1 detik, dalam kaki?
  5. Batu yang dilempar dari tebing setinggi 112 kaki mengikuti H(t) = −16t² + 96t + 112. Pada detik berapa batu paling tinggi?
  6. Berapa tinggi maksimum batu, dalam kaki?
  7. Setelah berapa detik batu menyentuh laut?
  8. Dengan pagar 80 ft untuk tiga sisi, A(L) = 80L − 2L². Nilai L berapa, dalam kaki, yang menghasilkan luas terbesar?
  9. Berapa luas terbesar itu, dalam kaki persegi?
  10. Mengapa penyelesaian t ≈ −0.458 ditolak untuk bola?
    • Itu adalah waktu sebelum bola dilempar
    • Diskriminannya negatif
    • Tinggi tidak boleh berupa desimal
    • Rumus hanya memberi satu jawaban
Kesalahan umum
  • Memberikan t = −b/(2a) sebagai tinggi maksimum. −b/(2a) adalah waktu mencapai puncak, bukan tingginya. Untuk contoh rekaan lemparan bola basket h(t) = −4.9t² + 9.8t + 2 dalam meter, puncak tercapai pada t = 9.8/9.8 = 1 detik, dan tingginya h(1) = −4.9 + 9.8 + 2 = 6.9 meter.
  • Menggunakan −16t² saat tinggi dinyatakan dalam meter. 16 adalah setengah dari sekitar 32 ft/s², sehingga digunakan untuk satuan kaki. Dalam meter, sukunya −4.9t², yaitu setengah dari 9.80665 m/s² yang dibulatkan.
  • Menghitung −16t² pada t = 2 sebagai (−16 × 2)² = 1024. Hanya t yang dikuadratkan: −16 × 2² = −16 × 4 = −64. Jadi H(2) = −64 + 160 + 40 = 136 kaki.
Catatan untuk guruSebelum memakai rumus apa pun, minta siswa membuat sketsa tinggi terhadap waktu untuk bola yang dilempar lurus ke atas. Hal pertama yang perlu dikenali adalah sketsa yang justru menggambar lintasan bola; catatan di atas membahas hal itu. Lalu minta mereka menyebutkan penyelesaian mana yang ditolak beserta alasannya. Waktu menyentuh tanah yang negatif adalah contoh paling jelas dalam kursus ini.
Poin penting
  • H(t) = −16t² + vt + h₀ dalam kaki; 16 adalah setengah dari percepatan gravitasi 32 ft/s².
  • Puncak adalah titik puncak grafik: t = −b/(2a), dengan tinggi H(t) pada waktu itu.
  • Waktu menyentuh tanah: selesaikan H(t) = 0 dan ambil akar positif.
  • Soal luas dan pendapatan memakai langkah titik puncak yang sama.
Sumber kursus ini (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

Diperiksa: 2026-10-18