던져 올린 공

높이 40피트 지붕에서 초속 80피트로 던져 올린 공은 2.5초 뒤 140피트까지 올라가고, 약 5.46초 뒤 땅에 떨어집니다.

공은 언제 가장 높고, 언제 땅에 닿을까요?

먼저 두 문제를 풀어 보세요. 높이 40피트 지붕에서 초속 80피트로 공을 똑바로 던져 올리면 t초 뒤 높이는 H(t) = −16t² + 80t + 40(피트)입니다. 공은 언제 가장 높을까요? 언제 땅에 닿을까요? 둘 다 앞 단원에서 쓴 방법으로 풀립니다. 하나는 꼭짓점을 찾는 문제이고, 다른 하나는 근의 공식으로 근을 구하는 문제입니다. 답을 적어 두고 아래 풀이와 맞춰 보세요. 피트는 우리에게 낯선 단위라 미터로 바꿔 두면, 1피트가 정확히 0.3048 m이므로 지붕 높이 40피트는 약 12.2 m, 처음 속력 초속 80피트는 초속 약 24.4 m입니다.

−16, 80, 40은 각각 무엇을 나타낼까요

OpenStax 교재에 나오는 예입니다. 높이 40피트 건물 꼭대기에서 공을 초속 80피트로 위로 던지면, t초 뒤 땅에서 잰 공의 높이를 H(t) = −16t² + 80t + 40으로 나타냅니다. 세 항에는 각각 뜻이 있습니다. t의 단위는 초, H의 단위는 피트입니다. t = 0을 넣으면 40만 남으니 40은 처음 높이, 다시 말해 건물 높이입니다. 80t는 공이 처음 속력을 그대로 지킨다면 올라갈 높이입니다. −16t²는 공을 다시 끌어내리는 중력의 몫입니다. 이 항이 80t보다 빨리 커지기 때문에 공은 결국 방향을 바꿔 떨어집니다.

16은 어디서 나왔을까요? 땅 가까이에서 떨어지는 물체는 1초마다 초속 약 32피트씩 빨라집니다. 표준값은 9.80665 m/s²이고, 피트로 바꾸면 약 32.174 ft/s²입니다. 떨어진 거리는 이 값의 절반에 t²를 곱한 만큼이고, 32의 절반이 16입니다. 미터로 쓰면 같은 모형이 h(t) = −4.9t² + vt + h₀가 됩니다. 이 모형은 공기 저항을 빼고 계산합니다. 몇 초 날아가는 무거운 공에는 괜찮지만, 깃털에는 맞지 않습니다.

2.5초 뒤 140피트, 꼭짓점이 최고점입니다

H(t)는 a = −16인 이차함수라 그래프가 아래로 열리고, 꼭짓점이 가장 높은 점입니다. 꼭짓점의 시간은 t = −b/(2a) = −80/(2 × (−16)) = 80/32 = 2.5초이고, 그때 높이는 H(2.5) = −16(6.25) + 80(2.5) + 40 = −100 + 200 + 40 = 140피트입니다. 공은 2.5초 동안 올라가 140피트에 이른 뒤 내려옵니다. 140피트를 미터로 바꾸면 약 42.7 m입니다. 「공은 언제 그만 올라갈까?」라는 물리 질문의 답이 꼭짓점 공식에서 나왔습니다.

약 5.46초 뒤 땅에 닿습니다

공이 땅에 닿을 때 높이는 0입니다. −16t² + 80t + 40 = 0은 정수로 깔끔하게 인수분해되지 않으니 근의 공식을 씁니다. t = (−80 ± √(80² − 4(−16)(40))) / (2(−16)) = (−80 ± √8960) / (−32)이고, 두 값은 약 5.458과 약 −0.458입니다. 음수 시간은 공을 던지기 전이라 모형이 다루는 범위 밖입니다. 그래서 답은 약 5.458초입니다. 반올림하면 약 5.46초로, 단원 첫머리의 숫자와 같습니다. 판별식 8960이 양수라는 것도 그래프가 시간 축과 만난다는 사실과 맞아떨어집니다.

시간에 따른 높이 그래프는 공이 지나간 길이 아닙니다. 이 공은 똑바로 올라갔다가 똑바로 내려옵니다. 곡선은 한 축에 높이, 다른 축에 시간을 놓고 그렸을 뿐입니다. 그래서 OpenStax 교재도 축마다 어떤 양을 나타내는지 생각하며 읽으라고 당부합니다. 농구공을 골대로 던지면 공이 옆으로도 움직여 지나가는 길 자체가 포물선에 가깝지만, 이 그래프는 그런 그림이 아닙니다. 실험실 왼쪽 기둥을 따라 오르내리는 점이 실제 공입니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

H(t) = −16t² + 80t + 40입니다. 재생을 누르면 공을 던지고, 그래프 위를 끌면 시간을 고를 수 있습니다. 처음 속력과 처음 높이를 바꾸면 아래 칸이 최고점과 땅에 닿는 시간을 다시 계산합니다.

울타리와 구독료 문제도 꼭짓점으로 풉니다

공이 나오지 않는 문제도 같은 방법으로 풉니다. OpenStax 교재의 다른 예에서는 울타리 80피트로 직사각형 텃밭의 세 변을 두르고, 나머지 한 변은 뒷마당에 원래 있던 울타리를 씁니다. 원래 울타리와 수직인 두 변을 각각 L이라고 하면 긴 변은 80 − 2L이고, 넓이는 A(L) = L(80 − 2L) = 80L − 2L²입니다. 꼭짓점은 L = −80/(2 × (−2)) = 20이므로 가장 넓은 텃밭은 20피트 × 40피트, 넓이 800제곱피트입니다. L이 10이면 넓이는 10 × 60 = 600제곱피트, L이 30이면 30 × 20 = 600제곱피트로 같으니, 그 한가운데인 20에서 가장 넓다는 것을 표로도 확인할 수 있습니다. 같은 절에 나오는 신문 구독료 수입 모형은 구독 한 건에 31.80달러일 때 수입이 가장 큽니다.

H(t) = −16t² + 80t + 40에서 공은 몇 초 뒤에 가장 높을까요?
그 공의 최고 높이는 몇 피트일까요?
몇 초 뒤에 땅에 닿을까요? 소수 둘째 자리까지 쓰세요.
1초 뒤 공의 높이는 몇 피트일까요?
높이 112피트 절벽에서 던진 돌의 높이는 H(t) = −16t² + 96t + 112입니다. 몇 초 뒤에 가장 높을까요?
그 돌의 최고 높이는 몇 피트일까요?
돌은 몇 초 뒤에 바다에 닿을까요?
울타리 80피트로 세 변을 두를 때 A(L) = 80L − 2L²입니다. 넓이가 가장 큰 L은 몇 피트일까요?
그 가장 큰 넓이는 몇 제곱피트일까요?
공 문제에서 t ≈ −0.458을 버리는 까닭은 무엇일까요?
- 공을 던지기 전의 시간이기 때문
- 판별식이 음수이기 때문
- 높이는 소수가 될 수 없기 때문
- 공식은 답을 하나만 주기 때문

자주 하는 실수

t = −b/(2a)를 최고 높이로 답하기 −b/(2a)는 최고점에 이르는 시간이지 높이가 아닙니다. 농구공을 위로 던진 높이가 h(t) = −4.9t² + 9.8t + 2 (m)라고 하면(지어낸 예), 최고점은 t = 9.8/9.8 = 1초이고 그때 높이는 h(1) = −4.9 + 9.8 + 2 = 6.9 m입니다.
높이를 m로 재면서 −16t²를 쓰기 16은 약 32 ft/s²의 절반이라 피트 단위에만 맞습니다. 미터로 쓸 때는 9.80665 m/s²의 절반을 반올림한 −4.9t²를 씁니다.
t = 2에서 −16t²를 (−16 × 2)² = 1,024로 계산하기 제곱하는 것은 t뿐입니다. −16 × 2² = −16 × 4 = −64이므로 H(2) = −64 + 160 + 40 = 136피트입니다. 계산기에 넣을 때도 t를 먼저 제곱한 뒤 −16을 곱하는 순서를 지키세요.

선생님 메모이차함수의 최대·최소를 실생활과 연결하는 것은 2022 개정 교육과정 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-06]이고, 그래프와 최대·최소를 탐구할 때 공학 도구를 쓸 수 있다고 적혀 있습니다. 이 단원의 실험실이 그런 도구입니다. 공식부터 꺼내기 전에 똑바로 던진 공의 「시간에 따른 높이」 그래프를 손으로 그려 보게 하세요. 공이 지나간 길을 그린 학생이 있으면 위의 메모로 바로잡으면 됩니다. 음수 시간을 버리는 이유도 말로 설명하게 하세요. 구한 해가 문제 상황에 맞는지 확인하는 과정은 중학교 교육과정에도 들어 있습니다. 미터로 바꾼 값(40피트 약 12.2 m, 140피트 약 42.7 m)을 함께 적어 주면 높이가 어느 정도인지 감을 잡기 쉽습니다.

핵심 정리

피트 단위에서 H(t) = −16t² + vt + h₀이고, 16은 중력 가속도 32 ft/s²의 절반입니다.
최고점은 꼭짓점이고, t = −b/(2a)에서의 H(t)가 높이입니다.
땅에 닿는 시간은 H(t) = 0을 풀어 양수 근을 고릅니다.
넓이와 수입 문제도 같은 꼭짓점 단계로 풉니다.

이 과정의 출처 (6)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

확인한 날: 2026-10-18