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ホーム›代数›二次関数と二次方程式

投げ上げたボール

高さ40フィートの屋上から毎秒80フィートで真上に投げた球は、2.5秒後に140フィートに達し、約5.46秒後に着地します。

球が最も高くなるのはいつで、着地するのはいつですか

まず2つの問いを考えましょう。鉛筆があれば使ってください。高さ40フィートの屋上から毎秒80フィートで真上に投げた球の、t秒後の高さはH(t) = −16t² + 80t + 40です。最も高くなるのはいつですか。地面に着くのはいつですか。どちらも前の単元の道具を使います。一方は頂点、もう一方は解の公式で求める解です。答えを書き、下の計算と比べましょう。

−16、80、40が表すもの

OpenStaxの例では、高さ40フィートの建物から毎秒80フィートで真上に投げた球のt秒後の高さを、H(t) = −16t² + 80t + 40で表します。各項に意味があります。定数40は、t = 0で40だけが残るため、投げ始めの高さです。80tは最初の速さを保てば到達する高さです。−16t²は重力が引き戻す分で、80tより速く大きくなるため、球はやがて向きを変えて落下します。

16はどこから来るのでしょうか。地表近くでは、落下物の速さは重力で1秒ごとに毎秒約32フィートずつ増えます。標準値は9.80665 m/s²、約32.174 ft/s²です。落下距離はその半分にt²を掛けたもので、32の半分が16です。メートルなら同じモデルはh(t) = −4.9t² + vt + h₀です。空気抵抗を無視しており、重い球の数秒間なら妥当でも、羽には適しません。

最高点：2.5秒後に140フィート

H(t)はa = −16の二次関数なので下に開き、頂点が最高点です。その時刻はt = −b/(2a) = −80/(2 × (−16)) = 80/32 = 2.5秒です。高さはH(2.5) = −16(6.25) + 80(2.5) + 40 = −100 + 200 + 40 = 140フィートです。球は2.5秒間上昇し、140フィートに達して落ち始めます。頂点の公式が「いつ上昇が止まるか」という物理の問いに答えていることに注目しましょう。

約5.46秒後に着地

地面に着くときはH(t) = 0、つまり−16t² + 80t + 40 = 0です。簡単に因数分解できないため、公式を使います。t = (−80 ± √(80² − 4(−16)(40))) / (2(−16)) = (−80 ± √8960) / (−32)です。解は約5.458と約−0.458です。負の時刻は投げる前を意味し、モデルが表す状況の外なので、着地は約5.458秒後です。判別式8960は正で、グラフが時間軸と交わることに一致します。

tに対するHのグラフは球の軌道ではありません。この球は真上に進み、真下に落ちます。曲線は一方の軸に高さ、もう一方に時間を表すので、OpenStaxも各軸の量を意識するよう注意しています。バスケットボールのシュートは横にも動き、軌道は放物線に近くなりますが、このグラフはそれを描いたものではありません。実験画面で球そのものを表すのは左の列の点です。
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ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。

H(t) = −16t² + 80t + 40です。「再生」を押して球を投げるか、グラフ上をドラッグして時刻を選びましょう。速さと初期の高さを変えると、パネルが最高点と着地時刻を再計算します。

柵や価格の問題にも同じ頂点の計算

球が出てこない問題も、同じ頂点の考え方で解けます。OpenStaxの別の例では、庭師が80フィートの柵で長方形の3辺を囲み、残る1辺には裏庭の既存の柵を使います。既存の柵に垂直な辺をLとすると、長い辺は80 − 2L、面積はA(L) = L(80 − 2L) = 80L − 2L²です。頂点はL = −80/(2 × (−2)) = 20なので、最も広い庭は20フィート×40フィートで、面積800平方フィートです。同じ節の新聞収入モデルでは、購読価格$31.80で収入が最大になります。

  1. H(t) = −16t² + 80t + 40で、球が最も高くなるのは何秒後ですか。
  2. その球の最高到達高度は何フィートですか。
  3. 地面に着くのは何秒後ですか。小数第2位まで答えてください。
  4. 1秒後の球の高さは何フィートですか。
  5. 高さ112フィートの崖から投げた石の高さはH(t) = −16t² + 96t + 112です。最も高くなるのは何秒後ですか。
  6. 石の最高到達高度は何フィートですか。
  7. 石が海に落ちるのは何秒後ですか。
  8. 80 ftの柵で3辺を囲むとA(L) = 80L − 2L²です。面積が最大になるLは何フィートですか。
  9. 最大面積は何平方フィートですか。
  10. 球の問題でt ≈ −0.458を採用しないのはなぜですか。
    • 球を投げる前の時刻だから
    • 判別式が負だから
    • 高さは小数にならないから
    • 公式では答えが1つしか出ないから
よくある間違い
  • t = −b/(2a)を最高到達高度として答えます。 −b/(2a)は最高点の時刻で、高さではありません。架空のバスケットボール投げをメートルでh(t) = −4.9t² + 9.8t + 2とすると、最高点はt = 9.8/9.8 = 1秒、高さはh(1) = −4.9 + 9.8 + 2 = 6.9メートルです。
  • 高さの単位がメートルなのに−16t²を使います。 16は約32 ft/s²の半分なので、フィート用です。メートルでは9.80665 m/s²の半分を丸めた−4.9t²を使います。
  • t = 2での−16t²を、(−16 × 2)² = 1,024と計算します。 2乗するのはtだけなので、−16 × 2² = −16 × 4 = −64です。したがってH(2) = −64 + 160 + 40 = 136フィートです。
先生からひとこと公式に入る前に、真上に投げた球の高さと時間のグラフを描いてもらいましょう。球の軌道を描いていないかを最初に確認します。上の注意書きはそのためです。次に、どの解を採用しないか、その理由を声に出してもらいましょう。負の着地時刻は、この課程で最も分かりやすい例です。
ポイント
  • フィートではH(t) = −16t² + vt + h₀です。16は重力加速度32 ft/s²の半分です。
  • 最高点は頂点です。時刻はt = −b/(2a)、高さはその時刻のH(t)です。
  • 着地時刻：H(t) = 0を解き、正の解を採用します。
  • 面積や収入の問題にも、同じ頂点の計算を使います。
このコースの出典 (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

確認日: 2026-10-18