Una pelota lanzada

Una pelota lanzada hacia arriba a 80 pies por segundo desde una azotea de 40 pies llega a 140 pies a los 2.5 segundos y cae al suelo a los 5.46 segundos, aproximadamente.

¿Cuándo está más alta la pelota y cuándo cae al suelo?

Primero dos preguntas, con lápiz si tienes uno. Una pelota lanzada en línea recta hacia arriba desde una azotea de 40 pies a 80 pies por segundo tiene una altura H(t) = −16t² + 80t + 40 a los t segundos. ¿Cuándo está más alta? ¿Cuándo toca el suelo? Las dos respuestas usan herramientas de unidades anteriores. Una es un vértice. La otra es una raíz de la fórmula general. Anota tus respuestas y compáralas con el desarrollo de abajo.

Qué significan el −16, el 80 y el 40

OpenStax usa este ejemplo: se lanza una pelota hacia arriba desde lo alto de un edificio de 40 pies a una velocidad de 80 pies por segundo, y su altura sobre el suelo a los t segundos se modela con H(t) = −16t² + 80t + 40. Cada término tiene un significado. La constante 40 es la altura inicial, porque en t = 0 solo queda 40. El término 80t es lo alto que llegaría la pelota si mantuviera su velocidad inicial. El término −16t² es la gravedad tirando de ella hacia abajo, y crece más rápido que 80t; por eso la pelota acaba dando la vuelta y cayendo.

¿De dónde sale el 16? Cerca del suelo, la gravedad aumenta la velocidad de un objeto que cae en unos 32 pies por segundo cada segundo; el valor estándar es 9.80665 m/s², unos 32.174 ft/s². La distancia de caída es la mitad de eso por t², y la mitad de 32 es 16. En metros, el mismo modelo queda h(t) = −4.9t² + vt + h₀. El modelo no tiene en cuenta la resistencia del aire, lo cual es razonable para una pelota pesada durante unos segundos, pero no para una pluma.

La cima: 140 pies a los 2.5 segundos

H(t) es una función cuadrática con a = −16, así que su gráfica abre hacia abajo y el vértice es el punto más alto. El tiempo del vértice es t = −b/(2a) = −80/(2 × (−16)) = 80/32 = 2.5 segundos. La altura en ese momento es H(2.5) = −16(6.25) + 80(2.5) + 40 = −100 + 200 + 40 = 140 pies. Así que la pelota sube durante dos segundos y medio, llega a 140 pies y luego baja. Fíjate en que aquí la fórmula del vértice responde una pregunta física: ¿cuándo deja de subir la pelota?

Cae al suelo a los 5.46 segundos, aproximadamente

La pelota toca el suelo cuando H(t) = 0, es decir, −16t² + 80t + 40 = 0. Esto no se factoriza de forma sencilla, así que usa la fórmula: t = (−80 ± √(80² − 4(−16)(40))) / (2(−16)) = (−80 ± √8960) / (−32). Las dos respuestas son aproximadamente 5.458 y −0.458. Un tiempo negativo sería antes del lanzamiento, fuera de la situación que describe el modelo, así que la pelota cae a los 5.458 segundos, aproximadamente. El discriminante, 8960, es positivo, lo que coincide con que la gráfica corta el eje del tiempo.

El mismo paso del vértice para una cerca y un precio

La misma idea del vértice resuelve problemas en los que no hay ninguna pelota. En otro ejemplo de OpenStax, una jardinera tiene 80 pies de cerca para tres lados de un rectángulo, y la cerca del patio hace de cuarto lado. Si cada lado perpendicular a la cerca existente mide L, el lado largo mide 80 − 2L y el área es A(L) = L(80 − 2L) = 80L − 2L². El vértice está en L = −80/(2 × (−2)) = 20, así que el mejor jardín mide 20 por 40 pies, con un área de 800 pies cuadrados. Un modelo de ingresos de un periódico en la misma sección alcanza su máximo con un precio de 31.80 dólares por suscripción.