Une balle lancée

Une balle lancée vers le haut à 80 pieds par seconde depuis un toit de 40 pieds atteint 140 pieds au bout de 2.5 secondes et touche le sol après environ 5.46 secondes.

Quand la balle est-elle au plus haut, et quand touche-t-elle le sol ?

Deux questions pour commencer, avec un crayon si tu en as un. Une balle lancée verticalement vers le haut depuis un toit de 40 pieds, à 80 pieds par seconde, a pour hauteur H(t) = −16t² + 80t + 40 après t secondes. Quand est-elle au plus haut ? Quand touche-t-elle le sol ? Les deux réponses utilisent les outils des unités précédentes : un sommet pour l'une, une racine obtenue par la formule de résolution pour l'autre. Note tes réponses et compare-les aux calculs ci-dessous.

Ce que signifient −16, 80 et 40

OpenStax utilise cet exemple : une balle est lancée vers le haut depuis le sommet d'un bâtiment de 40 pieds, à une vitesse de 80 pieds par seconde. Sa hauteur au-dessus du sol après t secondes est modélisée par H(t) = −16t² + 80t + 40. Chaque terme a un sens. La constante 40 est la hauteur initiale, car pour t = 0 il ne reste que 40. Le terme 80t indique jusqu'où la balle monterait en conservant sa vitesse initiale. Le terme −16t² représente la gravité qui la ramène vers le sol ; il croît plus vite que 80t, ce qui explique pourquoi la balle finit par redescendre.

D'où vient le 16 ? Près du sol, la gravité augmente la vitesse d'un objet en chute d'environ 32 pieds par seconde à chaque seconde ; la valeur standard est 9.80665 m/s², soit environ 32.174 ft/s². La distance de chute vaut la moitié de cette accélération multipliée par t², et la moitié de 32 est 16. En mètres, le même modèle s'écrit h(t) = −4.9t² + vt + h₀. Il néglige la résistance de l'air, ce qui est raisonnable pour une balle lourde pendant quelques secondes, mais pas pour une plume.

Le sommet : 140 pieds à 2.5 secondes

H(t) est une fonction du second degré avec a = −16 : sa courbe est donc ouverte vers le bas et le sommet est le point le plus haut. L'instant correspondant est t = −b/(2a) = −80/(2 × (−16)) = 80/32 = 2.5 secondes. La hauteur vaut alors H(2.5) = −16(6.25) + 80(2.5) + 40 = −100 + 200 + 40 = 140 pieds. La balle monte donc pendant deux secondes et demie, atteint 140 pieds puis redescend. La formule du sommet répond ici à une question physique : quand la balle cesse-t-elle de monter ?

Le contact avec le sol après environ 5.46 secondes

La balle touche le sol quand H(t) = 0, soit −16t² + 80t + 40 = 0. La factorisation n'étant pas simple, utilise la formule : t = (−80 ± √(80² − 4(−16)(40))) / (2(−16)) = (−80 ± √8960) / (−32). Les deux réponses sont environ 5.458 et −0.458. Un temps négatif correspondrait à un instant avant le lancer, en dehors de la situation décrite : la balle touche donc le sol après environ 5.458 secondes. Le discriminant, 8960, est positif, ce qui correspond au fait que la courbe coupe l'axe du temps.

Le même calcul du sommet pour une clôture et un prix

Le sommet permet aussi de résoudre des problèmes sans balle. Dans un autre exemple d'OpenStax, un jardinier dispose de 80 pieds de clôture pour trois côtés d'un rectangle, la clôture du fond servant de quatrième côté. Si chaque côté perpendiculaire à la clôture existante mesure L, le grand côté vaut 80 − 2L et l'aire est A(L) = L(80 − 2L) = 80L − 2L². Le sommet se trouve en L = −80/(2 × (−2)) = 20 : le jardin optimal mesure donc 20 pieds sur 40 pieds, pour une aire de 800 pieds carrés. Dans la même section, un modèle de recettes d'un journal atteint son maximum à un prix de 31.80 $ par abonnement.