Forme canonique

f(x) = 2x² + 4x − 4 et f(x) = 2(x + 1)² − 6 désignent la même fonction, mais seule la seconde écriture montre immédiatement le sommet (−1, −6).

Où se trouve le point le plus bas de 2x² + 4x − 4 ?

Essaie avant de poursuivre. Où se trouve le point le plus bas de f(x) = 2x² + 4x − 4 ? Un tableau permet de le trouver, lentement. f(0) = −4, f(−1) = −6 et f(−2) = −4. Les deux valeurs −4 sont à égale distance de x = −1 : le point le plus bas a donc pour abscisse x = −1, et le minimum vaut −6. Il a fallu trois calculs et une bonne intuition. Écrite 2(x + 1)² − 6, la même fonction révèle (−1, −6) sans aucun tableau.

Pourquoi le sommet de a(x − h)² + k est (h, k)

Une fonction du second degré peut aussi s'écrire f(x) = a(x − h)² + k. OpenStax appelle cette écriture la forme standard ; comme elle révèle directement le sommet, on l'appelle aussi forme canonique. Le sommet est le point (h, k). L'explication est courte : (x − h)² est un carré, donc jamais négatif, et vaut 0 exactement quand x = h. Si a > 0, la plus petite valeur possible de a(x − h)² est 0 ; le minimum de f est donc k, atteint pour x = h. Si a < 0, le même raisonnement donne le maximum.

Attention au signe dans les parenthèses. Dans f(x) = (x − 3)² + 2, le sommet est (3, 2), avec un 3 positif. Dans f(x) = −3(x + 2)² + 4, exemple utilisé par OpenStax, x + 2 revient à x − (−2) : h = −2 et le sommet est (−2, 4). Comme a = −3 est négatif, la parabole est ouverte vers le bas, 4 est le maximum et l'ensemble des valeurs prises est constitué des y tels que y ≤ 4. L'axe de symétrie est la droite verticale x = h, ici x = −2.

D'abord h = −b/(2a), puis k = f(h)

Quand une fonction est donnée sous la forme ax² + bx + c, on peut trouver rapidement son sommet. L'axe de symétrie est x = −b/(2a) : c'est donc h. Puis k est simplement l'image de h : k = f(h). Revenons au problème initial, f(x) = 2x² + 4x − 4. Ici, h = −4/(2 × 2) = −1 et k = f(−1) = 2(1) − 4 − 4 = −6. Garde le même a et écris f(x) = 2(x + 1)² − 6. Le développement confirme : 2(x² + 2x + 1) − 6 = 2x² + 4x + 2 − 6 = 2x² + 4x − 4.

Pourquoi −b/(2a) ? Développe a(x − h)² + k : tu obtiens ax² − 2ahx + (ah² + k). En comparant terme à terme avec ax² + bx + c, on trouve b = −2ah, puis h = −b/(2a). La même comparaison donne c = ah² + k. Les deux formes contiennent donc les mêmes informations ; l'une facilite la lecture du sommet, l'autre celle de l'ordonnée à l'origine c.

On peut aussi compléter le carré. Prends x² − 6x + 7. La moitié de −6 est −3 et (−3)² = 9. Ajoute et retranche 9 : x² − 6x + 9 − 9 + 7 = (x − 3)² − 2. Le sommet est (3, −2). Les deux méthodes doivent donner le même résultat, et c'est le cas : −b/(2a) = 6/2 = 3 et f(3) = 9 − 18 + 7 = −2.

Déplacer y = x² pour placer son sommet en (h, k)

La forme canonique indique aussi comment tracer la courbe à partir de y = x². Prends la courbe de référence, étire-la selon a et retourne-la si a est négatif, puis déplace-la de h unités horizontalement et de k unités vers le haut ou le bas. Le sommet (0, 0) de y = x² arrive en (h, k). Dans le laboratoire, déplace le sommet rouge : le panneau réécrit simultanément la forme canonique et la forme générale. Tu peux ainsi voir b et c changer sans que la forme de la courbe change.