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ホーム›代数›二次関数と二次方程式

頂点形式

f(x) = 2x² + 4x − 4とf(x) = 2(x + 1)² − 6は同じ関数ですが、頂点(−1, −6)を一目で読み取れるのは後者です。

2x² + 4x − 4の最も低い点はどこですか。

先を読む前に考えましょう。f(x) = 2x² + 4x − 4の最も低い点はどこですか。表でも求められますが、手間がかかります。f(0) = −4、f(−1) = −6、f(−2) = −4です。2つの−4はx = −1から等距離なので、底はx = −1、最小値は−6です。3回の計算と運のよい予想が必要でした。同じ関数を2(x + 1)² − 6と書けば、表なしで(−1, −6)と分かります。

a(x − h)² + kの頂点が(h, k)になる理由

二次関数はf(x) = a(x − h)² + kとも書けます。OpenStaxはこれを標準形と呼び、頂点を直接読み取れるため頂点形式とも呼びます。頂点は(h, k)です。理由は簡単です。(x − h)²は2乗なので負にならず、x = hのときだけ0です。a > 0ならa(x − h)²の最小値は0なので、fの最小値はkで、x = hのときにとります。a < 0なら同じ考え方で最大値が分かります。

括弧内の符号に注意しましょう。f(x) = (x − 3)² + 2の頂点は(3, 2)で、3は正です。OpenStaxの例f(x) = −3(x + 2)² + 4では、x + 2はx − (−2)なのでh = −2、頂点は(−2, 4)です。a = −3が負なので下に開き、最大値は4、値域はy ≤ 4です。対称軸は縦の直線x = h、ここではx = −2です。

f(x) = −3(x + 2)² + 4：頂点は(−2, 4)、対称軸はx = −2で、a = −3なので下に開きます。

まずh = −b/(2a)、次にk = f(h)

ax² + bx + cの形なら、頂点を手早く求められます。対称軸はx = −b/(2a)なので、この値がhです。kはhでの出力、つまりk = f(h)です。冒頭のf(x) = 2x² + 4x − 4では、h = −4/(2 × 2) = −1、k = f(−1) = 2(1) − 4 − 4 = −6です。同じaを使うとf(x) = 2(x + 1)² − 6です。展開すると2(x² + 2x + 1) − 6 = 2x² + 4x + 2 − 6 = 2x² + 4x − 4となり、確認できます。

なぜ−b/(2a)なのでしょうか。a(x − h)² + kを展開するとax² − 2ahx + (ah² + k)です。ax² + bx + cと項ごとに比べるとb = −2ahで、hについて解けばh = −b/(2a)です。同様にc = ah² + kです。2つの形は同じ情報を持ち、一方は頂点、もう一方はy切片cを読むのに便利です。

平方完成という方法もあります。x² − 6x + 7で、−6の半分は−3、(−3)² = 9です。9を足して引くと、x² − 6x + 9 − 9 + 7 = (x − 3)² − 2で、頂点は(3, −2)です。両方の方法は一致するはずです。実際に−b/(2a) = 6/2 = 3、f(3) = 9 − 18 + 7 = −2です。

y = x²を動かして頂点を(h, k)へ

頂点形式からは、y = x²をもとにグラフを描く方法も分かります。基本の曲線をa倍に伸縮し、aが負なら上下を反転させ、横にh、縦にkだけ移動します。y = x²の頂点(0, 0)は(h, k)へ移ります。実験画面で赤い頂点をドラッグすると、頂点形式と一般形が同時に書き換わり、形を保ったままbとcが変わる様子を見られます。

読み込み中

ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。

f(x) = 2(x + 1)² − 6は、一般形では2x² + 4x − 4です。頂点をドラッグするかa、h、kを動かすと、両方の形が同時に更新されます。
  1. y = (x − 3)² + 2の頂点はどこですか。
    • (3, 2)
    • (−3, 2)
    • (2, 3)
    • (3, −2)
  2. y = −3(x + 2)² + 4の頂点はどこですか。
    • (−2, 4)
    • (2, 4)
    • (−3, 4)
    • (4, −2)
  3. y = 2(x − 5)² − 1の対称軸はどこですか。x = ?に入る数を答えてください。
  4. y = x² − 6x + 7で、h = −b/(2a)はいくつですか。
  5. y = x² − 6x + 7で、頂点のy座標kはいくつですか。
  6. y = −(x − 1)² + 5は最小値と最大値のどちらを持ち、その値はいくつですか。
    • 最大値5
    • 最小値5
    • 最大値1
    • 最小値−5
  7. y = 2(x + 1)² − 6の値域はどこですか。
    • y ≥ −6
    • y ≤ −6
    • y ≥ −1
    • すべての実数
  8. (x − 3)² − 2と等しい一般形はどれですか。
    • x² − 6x + 7
    • x² − 6x − 11
    • x² + 6x + 7
    • x² − 3x − 2
  9. y = −2x² + 8x + 1で、hはいくつですか。
  10. y = −2x² + 8x + 1の最大値kはいくつですか。
よくある間違い
  • y = (x + 4)² − 1の頂点を(4, −1)と読み取ります。 x + 4はx − (−4)なのでh = −4、頂点は(−4, −1)です。括弧内の数はhと逆符号で、外側のkは符号が変わりません。
  • y = x² + 10x + 1で、h = 10/2 = 5とします。 公式はh = −b/(2a)で、負の符号も公式の一部です。b = 10なのでh = −10/2 = −5です。確認すると、−5の両側のf(−4)とf(−6)はともに−23です。
  • 2aではなくaで割り、y = 3x² − 12x + 1でh = 12/3 = 4とします。 2aは6なのでh = 12/6 = 2です。対称軸がx = 4ならf(3)とf(5)は等しいはずですが、f(3) = 27 − 36 + 1 = −8、f(5) = 75 − 60 + 1 = 16です。
  • (x + 3)² − 5の確認で、(x + 3)² = x² + 9とします。 (x + 3)² = (x + 3)(x + 3) = x² + 6x + 9です。中央の項6xは3とxの積の2倍で、頂点を横に動かす項です。したがって(x + 3)² − 5 = x² + 6x + 4であり、x² + 4ではありません。
先生からひとこと近道の−b/(2a)より先に頂点形式を教えましょう。a(x − h)² + kを展開してb = −2ahを求めた生徒は、負の符号の由来が分かります。先に公式を覚えると符号を落としがちです。実験画面で頂点をドラッグし、形を保つときbとcがどう変わるか尋ねましょう。
ポイント
  • 頂点形式：f(x) = a(x − h)² + k、頂点(h, k)、対称軸x = h。
  • 括弧内では符号が逆になります。(x + 2)ならh = −2です。
  • ax² + bx + cからは、h = −b/(2a)、次にk = f(h)を求めます。
  • 平方完成でも同じ結果になります。
このコースの出典 (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

確認日: 2026-10-18