Forma con il vertice

f(x) = 2x² + 4x − 4 e f(x) = 2(x + 1)² − 6 sono la stessa funzione, ma solo la seconda mostra subito il vertice (−1, −6).

Dov'è il punto più basso di 2x² + 4x − 4?

Prova prima di continuare. Dov'è il punto più basso di f(x) = 2x² + 4x − 4? Una tabella ci arriva, lentamente. f(0) = −4, f(−1) = −6 e f(−2) = −4. I due −4 sono equidistanti da x = −1, quindi il fondo è per x = −1 e il minimo è −6. Sono serviti tre calcoli e un'intuizione fortunata. Scritta come 2(x + 1)² − 6, la stessa funzione mostra (−1, −6) senza alcuna tabella.

Perché il vertice di a(x − h)² + k è (h, k)

Una funzione quadratica si può anche scrivere come f(x) = a(x − h)² + k. OpenStax chiama questa scrittura forma standard; poiché il vertice vi appare direttamente, è detta anche forma con il vertice. Il vertice è il punto (h, k). Il motivo è semplice: (x − h)² è un quadrato, quindi non è mai negativo, ed è uguale a 0 esattamente per x = h. Se a > 0, il minimo valore possibile di a(x − h)² è 0, quindi il minimo di f è k, raggiunto per x = h. Se a < 0, lo stesso ragionamento dà il massimo.

Attenzione al segno dentro le parentesi. In f(x) = (x − 3)² + 2 il vertice è (3, 2), con 3 positivo. In f(x) = −3(x + 2)² + 4, esempio usato da OpenStax, x + 2 equivale a x − (−2), quindi h = −2 e il vertice è (−2, 4). Poiché a = −3 è negativo, la concavità è verso il basso, 4 è il massimo e l'insieme dei valori comprende tutte le y con y ≤ 4. L'asse di simmetria è la retta verticale x = h, qui x = −2.

Prima h = −b/(2a), poi k = f(h)

Quando la funzione è data come ax² + bx + c, c'è un modo rapido per trovare il vertice. L'asse di simmetria è x = −b/(2a), quindi questo è h. Poi k è semplicemente il risultato per h: k = f(h). Torniamo al problema iniziale, f(x) = 2x² + 4x − 4. Qui h = −4/(2 × 2) = −1 e k = f(−1) = 2(1) − 4 − 4 = −6. Mantieni lo stesso a e scrivi f(x) = 2(x + 1)² − 6. Lo sviluppo conferma: 2(x² + 2x + 1) − 6 = 2x² + 4x + 2 − 6 = 2x² + 4x − 4.

Perché −b/(2a)? Sviluppa a(x − h)² + k e ottieni ax² − 2ahx + (ah² + k). Confrontandolo termine per termine con ax² + bx + c ottieni b = −2ah, e risolvendo rispetto a h trovi h = −b/(2a). Lo stesso confronto mostra c = ah² + k. Le due forme contengono quindi le stesse informazioni: una è comoda per leggere il vertice, l'altra per leggere l'ordinata c dell'intersezione con l'asse y.

Un'altra strada è il completamento del quadrato. Prendi x² − 6x + 7. La metà di −6 è −3, e (−3)² = 9. Aggiungi e sottrai 9: x² − 6x + 9 − 9 + 7 = (x − 3)² − 2. Il vertice è (3, −2). I due metodi devono concordare, e qui succede: −b/(2a) = 6/2 = 3 e f(3) = 9 − 18 + 7 = −2.

Traslare y = x² finché il vertice arriva in (h, k)

La forma con il vertice dice anche come costruire il grafico partendo da y = x². Prendi la curva di base, dilatala secondo a (e ribaltala se a è negativo), poi spostala di h unità in orizzontale e di k unità in alto o in basso. Il vertice (0, 0) di y = x² arriva in (h, k). Nel laboratorio trascina il vertice rosso: il pannello riscrive insieme la forma con il vertice e la forma generale, così puoi vedere b e c cambiare mentre la forma della curva resta uguale.