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Home›Algebra›Funzioni ed equazioni di secondo grado

La formula risolutiva

Al-Khwarizmi risolveva x² + 10x = 39 intorno all'800 completando un quadrato. La formula risolutiva riassume gli stessi passaggi, svolti una volta per tutte per qualsiasi valore di a, b e c.

Un quadrato disegnato intorno all'800

ContestoMacTutor osserva che si dice spesso che i Babilonesi, intorno al 1800 a.C., risolvessero equazioni di secondo grado, ma non avevano il concetto di equazione. Avevano una ricetta passo passo per problemi che oggi scriveremmo come equazioni di secondo grado: era essenzialmente il completamento del quadrato, con risposte sempre positive perché si trattava di solito di lunghezze. Brahmagupta (dal 598 al 665) propose un metodo quasi moderno che ammetteva quantità negative. Al-Khwarizmi, scrivendo intorno all'800 senza zero né numeri negativi, classificò le equazioni in sei tipi, diede per ciascuno una regola con un esempio numerico come x² + 10x = 39 e dimostrò ogni regola completando geometricamente un quadrato, come nella figura sotto. Nel 1145 il Liber embadorum di Abraham bar Hiyya divenne il primo libro pubblicato in Europa a fornire la soluzione completa.

Aggiungi 25 e x² + 10x diventa un quadrato

Molti trinomi di secondo grado non si scompongono con numeri interi. Il metodo che funziona sempre è completare il quadrato. Parti da x² + 10x = 39. Il primo membro è quasi un quadrato perfetto: (x + 5)² = x² + 10x + 25, quindi manca 25. Aggiungi 25 a entrambi i membri per mantenere l'uguaglianza: x² + 10x + 25 = 64. Ora il primo membro è (x + 5)², quindi (x + 5)² = 64. Estrai le radici: x + 5 = 8 oppure x + 5 = −8, da cui x = 3 oppure x = −13. Il numero da aggiungere è sempre il quadrato della metà del coefficiente di x.

La rappresentazione geometrica: un quadrato di lato x e due strisce 5 per x formano x² + 10x. Aggiungendo l'angolino 5 per 5 si completa un quadrato di lato x + 5 e area 39 + 25 = 64.

Gli stessi passaggi con le lettere danno la formula

Esegui gli stessi passaggi con le lettere. Parti da ax² + bx + c = 0, dividi per a, porta c/a dall'altro lato, aggiungi (b/(2a))² a entrambi i membri ed estrai le radici. Ottieni la formula risolutiva: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Il simbolo ± indica due risposte, una con il più e una con il meno. Per usarla, scrivi prima l'equazione in forma normale, così da leggere a, b e c con i loro segni. Attenzione a b. In x² − 2x − 3 = 0, b = −2, quindi −b = 2.

Esempio svolto: x² − 2x − 3 = 0 ha a = 1, b = −2, c = −3. Allora b² − 4ac = 4 + 12 = 16 e √16 = 4, quindi x = (2 ± 4)/2, cioè 3 oppure −1. La scomposizione dà lo stesso risultato: (x − 3)(x + 1) = 0. Ora prova 2x² + 3x − 1 = 0, che non si scompone facilmente: b² − 4ac = 9 + 8 = 17, quindi x = (−3 ± √17)/4. In forma decimale, x ≈ 0.281 oppure x ≈ −1.781. La formula fornisce risposte esatte con una radice quadrata; quando serve, la calcolatrice le trasforma in decimali.

Quale metodo scegliere? Se manca il termine in x, come in 5x² = 20, isola x² ed estrai le radici: x² = 4, x = ±2. Se la scomposizione è immediata, scomponi. Altrimenti usa la formula, che funziona sempre. Nel laboratorio imposta a, b e c per qualsiasi equazione: il pannello li sostituisce nella formula passo passo; i punti verdi sull'asse x sono le soluzioni.

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y = 2x² + 3x − 1. Le intersezioni con l'asse x sono le soluzioni di 2x² + 3x − 1 = 0, circa 0.281 e −1.781. Cambia a, b e c per risolvere altre equazioni.
  1. Qual è la soluzione maggiore di x² − 2x − 3 = 0?
  2. In 3x² − 5x + 2 = 0, quanto vale b?
  3. Qual è la soluzione positiva di x² + 10x = 39?
  4. Qual è la soluzione maggiore di 2x² + 3x − 1 = 0, con due cifre decimali?
  5. Qual è la soluzione maggiore di x² + 4x + 1 = 0, con due cifre decimali?
  6. Quale numero completa il quadrato per x² + 6x?
  7. Risolvi x² − 6x + 9 = 0.
  8. Qual è la soluzione positiva di 5x² = 20?
  9. Nella formula risolutiva, che cosa c'è sotto la radice quadrata?
    • b² − 4ac
    • b² + 4ac
    • 4ac − b²
    • 2a
  10. Qual è la soluzione minore di 2x² − 7x + 3 = 0? Scrivila come frazione.
Formula risolutivax = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Completamento del quadrato per x² + bxAggiungi (b/2)²
Estrazione delle radici quadrateSe x² = k, allora x = ±√k
L'esempio di Al-Khwarizmix² + 10x = 39, x = 3
Errori comuni
  • In x² − 4x − 5 = 0, inserire −b = −4 nella formula e ottenere 1 e −5. b è −4, quindi −b è +4. Allora b² − 4ac = 16 + 20 = 36 e x = (4 ± 6)/2, cioè 5 oppure −1. Sostituisci 5: 25 − 20 − 5 = 0.
  • Dividere solo la radice per 2a: x = −b ± √(b² − 4ac)/(2a). La linea di frazione si estende sotto tutto il numeratore, −b compreso. Per 2x² + 4x − 6 = 0, b² − 4ac = 16 + 48 = 64, quindi x = (−4 ± 8)/4 = 1 oppure −3. Dividere solo l'8 dà −4 ± 2, cioè −2 oppure −6, e nessuno dei due soddisfa l'equazione.
  • Risolvere (x + 2)² = 9 come x + 2 = 3, ottenendo solo x = 1. Sia 3 sia −3 hanno quadrato 9. x + 2 = ±3 dà x = 1 oppure x = −5. Verifica la seconda: (−5 + 2)² = (−3)² = 9.
Nota per l'insegnanteRicava la formula una volta dal completamento del quadrato, davanti alla classe, e solo dopo lascia che gli studenti la usino liberamente. Chi ha visto la dimostrazione sa perché 2a sta sotto tutto il numeratore. Dopo ogni risposta ottenuta con la formula, chiedi una verifica per sostituzione. Un segno meno perso si nota subito.
Punti chiave
  • Completamento del quadrato: aggiungi (b/2)² a x² + bx.
  • Formula risolutiva: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
  • Leggi a, b e c con i loro segni dalla forma normale.
  • Nessun termine in x: estrai le radici. Fattori semplici: scomponi. Altrimenti: usa la formula.
Fonti di questo corso (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
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  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

Consultato il: 2026-10-18