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근의 공식

알콰리즈미는 800년 무렵 x² + 10x = 39를 정사각형을 완성하는 방법으로 풀었습니다. 근의 공식은 같은 단계를 모든 a, b, c에 대해 한 번에 해 둔 것입니다.

800년 무렵 알콰리즈미가 그린 정사각형

배경맥튜터(MacTutor)에 따르면 기원전 1800년 무렵의 바빌로니아 사람들이 이차방정식을 처음 풀었다고들 흔히 말하지만, 사실 그들에게는 방정식이라는 개념이 없었습니다. 그들이 가진 것은 오늘날 우리가 이차방정식으로 쓰는 문제를 푸는 단계별 절차였고, 그 절차는 사실상 완전제곱식 만들기였습니다. 그들이 구한 답은 대개 길이였으므로 언제나 양수였습니다. 브라마굽타(598~665)는 음수인 양을 받아들이는 거의 현대적인 방법을 내놓았습니다. 0이나 음수라는 개념 없이 글을 쓴 알콰리즈미(800년 무렵)는 이차방정식을 여섯 가지 꼴로 나누었습니다. 그리고 꼴마다 x² + 10x = 39 같은 수치 예와 풀이 규칙을 붙였으며, 아래 그림처럼 정사각형을 완성하는 기하학적 방법으로 각 규칙을 증명했습니다. 1145년에 나온 아브라함 바르 히야의 『넓이의 책(Liber embadorum)』은 이차방정식의 완전한 풀이를 실은 책으로는 유럽에서 처음 나온 책입니다.

25를 더하면 x² + 10x가 정사각형이 됩니다

정수로 인수분해되지 않는 이차방정식은 많습니다. 그래도 완전제곱식을 만드는 방법은 언제나 통합니다. 알콰리즈미의 x² + 10x = 39로 해 보겠습니다. (x + 5)² = x² + 10x + 25이므로, 왼쪽은 완전제곱식이 되기에 25가 모자랍니다. 등식이 깨지지 않게 양변에 25를 똑같이 더하면 x² + 10x + 25 = 64이고, 왼쪽을 묶으면 (x + 5)² = 64입니다. 제곱해서 64가 되는 수는 8과 −8이므로 x + 5 = 8 또는 x + 5 = −8, 따라서 x = 3 또는 x = −13입니다. 양변에 더하는 수는 언제나 x의 계수를 반으로 나눠 제곱한 값입니다.

기하로 보면 이렇습니다. 한 변이 x인 정사각형과 5 × x 띠 두 개가 x² + 10x입니다. 작은 5 × 5 모퉁이를 채우면 한 변이 x + 5이고 넓이가 39 + 25 = 64인 정사각형이 완성됩니다.

문자로 같은 단계를 밟으면 근의 공식이 나옵니다

이번에는 같은 단계를 a, b, c로 해 봅니다. ax² + bx + c = 0의 양변을 a로 나누고, c/a를 이항하고, 양변에 (b/(2a))²를 더한 다음 제곱근을 구합니다. 그 결과가 근의 공식 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)입니다. ±는 +로 한 번, −로 한 번 계산해서 해가 두 개 나온다는 표시입니다. 공식에 넣기 전에 방정식을 ax² + bx + c = 0 꼴로 정리하고, a, b, c를 부호까지 함께 읽습니다. x² − 2x − 3 = 0이라면 b = −2이고, 따라서 −b = 2입니다.

x² − 2x − 3 = 0은 a = 1, b = −2, c = −3입니다. b² − 4ac = 4 + 12 = 16이고 √16 = 4이므로 x = (2 ± 4)/2, 답은 3 또는 −1입니다. 인수분해 (x − 3)(x + 1) = 0으로 풀어도 같습니다. 깔끔하게 인수분해되지 않는 2x² + 3x − 1 = 0도 공식에는 문제가 되지 않습니다. b² − 4ac = 9 + 8 = 17이므로 x = (−3 ± √17)/4이고, 소수로는 약 0.281과 약 −1.781입니다. 공식은 근호가 든 정확한 값을 주고, 소수가 필요하면 그때 계산기를 쓰면 됩니다.

방법은 이렇게 고르면 됩니다. 5x² = 20처럼 x항이 없으면 x²만 남겨 제곱근을 구합니다. x² = 4이므로 x = ±2입니다. 금방 인수분해되는 식은 인수분해합니다. 그 밖에는 근의 공식을 씁니다. 공식은 실패하는 법이 없습니다. x² + 10x = 39처럼 x의 계수가 짝수이면 그 절반이 정수라서 완전제곱식으로 푸는 것도 빠릅니다. 실험실에서 a, b, c를 풀고 싶은 방정식에 맞추면 아래 칸이 공식에 한 단계씩 대입해 보여 주고, x축 위의 초록 점이 해입니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

y = 2x² + 3x − 1입니다. x절편이 2x² + 3x − 1 = 0의 해이고, 약 0.281과 −1.781입니다. a, b, c를 바꿔 다른 방정식을 풀어 보세요.
  1. x² − 2x − 3 = 0의 큰 해는 얼마일까요?
  2. 3x² − 5x + 2 = 0에서 b는 얼마일까요?
  3. x² + 10x = 39의 양수 해는 얼마일까요?
  4. 2x² + 3x − 1 = 0의 큰 해를 소수 둘째 자리까지 쓰세요.
  5. x² + 4x + 1 = 0의 큰 해를 소수 둘째 자리까지 쓰세요.
  6. x² + 6x를 완전제곱식으로 만들려면 어떤 수를 더해야 할까요?
  7. x² − 6x + 9 = 0을 푸세요.
  8. 5x² = 20의 양수 해는 얼마일까요?
  9. 근의 공식에서 제곱근 안에 있는 식은 무엇일까요?
    • b² − 4ac
    • b² + 4ac
    • 4ac − b²
    • 2a
  10. 2x² − 7x + 3 = 0의 작은 해를 분수로 쓰세요.
근의 공식x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
x² + bx의 완전제곱식(b/2)²를 더함
제곱근 성질x² = k이면 x = ±√k
알콰리즈미의 예x² + 10x = 39, x = 3
자주 하는 실수
  • x² − 4x − 5 = 0에서 −b 자리에 −4를 넣어 1과 −5를 얻기 b가 −4이므로 −b는 +4입니다. b² − 4ac = 16 + 20 = 36이고 x = (4 ± 6)/2이므로 5 또는 −1입니다. 5를 다시 넣으면 25 − 20 − 5 = 0으로 맞습니다.
  • 근호 부분만 2a로 나누기: x = −b ± √(b² − 4ac)/(2a) 분수 막대는 −b까지 포함한 분자 전체 밑에 있습니다. 2x² + 4x − 6 = 0이면 b² − 4ac = 16 + 48 = 64이고, x = (−4 ± 8)/4 = 1 또는 −3입니다. 8만 4로 나누면 −4 ± 2, 다시 말해 −2나 −6이 나오는데 둘 다 방정식을 만족하지 않습니다.
  • (x + 2)² = 9에서 x + 2 = 3만 써서 x = 1 하나만 답하기 제곱해서 9가 되는 수는 3과 −3 두 개입니다. x + 2 = ±3이므로 x = 1 또는 x = −5입니다. 둘째 답도 넣어 보면 (−5 + 2)² = (−3)² = 9로 맞습니다.
선생님 메모근의 공식과 완전제곱식은 2022 개정 교육과정 중학교 1~3학년군의 용어 목록에 함께 들어 있고, 성취기준은 [9수02-20] 이차방정식입니다. 공식을 외우게 하기 전에 완전제곱식에서 공식을 한 번 이끌어 내 보여 주면, 2a가 왜 분자 전체 밑에 있는지 따로 설명할 일이 줄어듭니다. 공식으로 답을 구할 때마다 원래 식에 넣어 확인하게 하세요. 빠뜨린 마이너스는 이 확인에서 바로 드러납니다. 근과 계수의 관계는 중학교에서 다루지 않고 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-03]에서 배웁니다.
핵심 정리
  • 완전제곱식 만들기: x² + bx에 (b/2)²를 더합니다.
  • 근의 공식: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)입니다.
  • a, b, c는 표준형에서 부호까지 읽습니다.
  • x항이 없으면 제곱근, 쉽게 인수분해되면 인수분해, 아니면 공식을 씁니다.
이 과정의 출처 (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

확인한 날: 2026-10-18