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홈›대수›이차방정식

인수분해로 풀기

(x − 2)(x + 3) = 0이면 x − 2 = 0이거나 x + 3 = 0이므로 해는 2와 −3입니다. 곱을 0으로 만드는 다른 수는 없습니다.

양변을 x로 나누면 근 하나가 사라집니다

x² = 5x를 풀 때 양변을 x로 나누고 싶어집니다. 나누면 x = 5가 나오고, 넣어 보면 25 = 25로 맞습니다. 그런데 x = 0을 넣어도 0 = 0으로 맞습니다. 나누는 순간 이 해가 사라졌습니다. x로 나누는 것은 x가 0이 아닐 때만 할 수 있는데, 하필 그 0이 해였습니다. 안전하게 풀려면 모든 항을 한쪽으로 이항합니다. x² − 5x = 0, x(x − 5) = 0이 되어 0과 5가 둘 다 나옵니다. 인수분해로 이차방정식을 푸는 방법은 모두 이 생각에서 출발합니다.

곱이 0이면 둘 가운데 하나는 0입니다

이차방정식은 x에 대한 이차식이 들어 있는 방정식이고, 보통 ax² + bx + c = 0 꼴로 정리해서 풉니다. 인수분해로 풀 때 기대는 사실은 하나입니다. AB = 0이면 A = 0 또는 B = 0입니다. OpenStax 교재는 이것을 영의 곱 성질이라고 부릅니다. 0이 아닌 두 수를 곱해서는 0이 나올 수 없으니 당연해 보이지만, 이 성질 덕분에 이차방정식 하나가 쉬운 일차방정식 두 개로 갈라집니다.

인수분해는 전개를 거꾸로 하는 일입니다. OpenStax 교재의 예 (x − 2)(x + 3)을 전개하면 x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6입니다. 그러니 x² + x − 6 = 0은 (x − 2)(x + 3) = 0으로 바꿔 쓸 수 있고, x − 2 = 0 또는 x + 3 = 0에서 x = 2 또는 x = −3입니다. 두 해를 넣어 확인하면 4 + 2 − 6 = 0, 9 − 3 − 6 = 0입니다. 그래프 y = x² + x − 6에서는 이 두 수가 x절편입니다.

곱이 6, 합이 −5인 두 수 찾기

x² + bx + c는 곱해서 c, 더해서 b가 되는 두 수를 찾으면 인수분해됩니다. 곱셈 공식 (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab를 거꾸로 읽으면 이렇게 됩니다. x² − 5x + 6이라면 곱이 6이고 합이 −5인 두 수가 필요합니다. 곱이 6인 짝은 1과 6, 2와 3, 그리고 둘 다 음수인 짝들인데, 더해서 −5가 되는 것은 −2와 −3뿐입니다. 그래서 x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)이고, 해는 2와 3입니다. 부호를 먼저 보면 찾을 범위가 줄어듭니다. c가 양수이면 두 수의 부호가 같고, 그 부호는 b의 부호를 따릅니다. c가 음수이면 하나는 양수, 하나는 음수입니다.

모양만 보고 바로 풀 수 있는 식이 두 가지 있습니다. 하나는 공통인수가 있는 식입니다. 3x² − 12x = 0은 두 항에 3x가 함께 들어 있어 3x(x − 4) = 0이 되고, x = 0 또는 x = 4입니다. 여기서도 x로 나누면 맨 앞에서 본 것처럼 해 0을 잃습니다. 다른 하나는 제곱의 차입니다. x² − 4 = (x − 2)(x + 2)이므로 x² − 4 = 0의 해는 2와 −2입니다. 이 식은 x² = 4로 정리한 뒤 제곱근을 구해도 됩니다. x = ±2입니다.

a가 1이 아니면 짝을 찾는 데 시간이 조금 더 걸립니다. 2x² + 5x − 3 = 0은 pq = −3인 (2x + p)(x + q) 꼴을 하나씩 대 봅니다. p = −1, q = 3이 맞습니다. (2x − 1)(x + 3) = 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3이기 때문입니다. 인수마다 0으로 놓으면 x = 1/2, x = −3입니다. 정수 짝이 하나도 맞지 않으면 그 식은 깔끔하게 인수분해되지 않습니다. 그래도 다음 단원의 근의 공식으로는 풀립니다.

넓이 40 m² 직사각형과 버려야 하는 해

가로가 세로보다 3 m 길고 넓이가 40 m²인 직사각형이 있습니다. 세로를 w라고 하면 가로는 w + 3이고, w(w + 3) = 40을 정리하면 w² + 3w − 40 = 0입니다. 곱이 −40, 합이 3인 두 수는 8과 −5이므로 (w + 8)(w − 5) = 0, w = −8 또는 w = 5입니다. 길이는 음수일 수 없으니 세로는 5 m, 가로는 8 m이고, 5 × 8 = 40으로 맞습니다. 방정식에서 나온 해가 문제 상황에 맞는지 다시 확인하는 이 단계는 교육과정에도 적혀 있습니다. 길이를 묻는 문제에서 음수 해는 언제나 버립니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

y = (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6입니다. 빨간 근을 x축을 따라 끌어 보세요. 아래 칸이 곱을 전개하고, a = 1이면 b는 두 근의 합에 마이너스를 붙인 값, c는 두 근의 곱이라는 것을 보여 줍니다.
  1. x² − 5x + 6 = 0의 해는 무엇일까요?
    • 2와 3
    • −2와 −3
    • 1과 6
    • −1과 6
  2. x² + 7x + 12는 어떻게 인수분해될까요?
    • (x + 3)(x + 4)
    • (x + 2)(x + 6)
    • (x − 3)(x − 4)
    • (x + 1)(x + 12)
  3. x² − 9 = 0의 양수 해는 얼마일까요?
  4. x² + x − 6 = 0의 음수 해는 얼마일까요?
  5. 3x² − 12x = 0의 0이 아닌 해는 얼마일까요?
  6. 2x² + 5x − 3 = 0의 양수 해를 분수로 쓰세요.
  7. 곱이 −12이고 합이 −1인 두 수는 무엇일까요?
    • −4와 3
    • 4와 −3
    • −6과 2
    • −12와 1
  8. 가로가 세로보다 3 m 긴 직사각형의 넓이가 40 m²입니다. 세로는 몇 m일까요?
  9. 영의 곱 성질은 어느 것일까요?
    • a · b = 0이면 a = 0이거나 b = 0
    • a · b = 1이면 a = 1이고 b = 1
    • a + b = 0이면 a = 0이고 b = 0
    • a = 0이면 a + b = 0
  10. (x − 4)² = 0을 푸세요.
자주 하는 실수
  • (x − 5)(x + 1) = 0의 해를 x = −5 또는 x = 1로 쓰기 인수마다 0으로 놓습니다. x − 5 = 0에서 5, x + 1 = 0에서 −1입니다. 해는 괄호 안에 적힌 수와 부호가 반대입니다.
  • (x − 1)(x − 2) = 6에서 x − 1 = 6 또는 x − 2 = 6으로 쓰기 곱이 0일 때만 인수 하나하나를 0으로 놓을 수 있습니다. 그렇게 구한 x = 7, x = 8을 넣으면 (6)(5) = 30, (7)(6) = 42로 6이 아닙니다. 먼저 전개해 x² − 3x + 2 = 6, x² − 3x − 4 = 0으로 정리하면 (x − 4)(x + 1) = 0이고, x = 4 또는 x = −1입니다.
  • x² + 2x − 15를 (x − 5)(x + 3)으로 인수분해하기 다시 전개해 보면 (x − 5)(x + 3) = x² − 2x − 15입니다. 곱 −15는 맞지만 합이 2가 아니라 −2입니다. 부호를 바꾼 (x + 5)(x − 3)이 맞습니다.
  • 2x² = 7x를 x로 나누고 x = 7/2만 답하기 x = 0도 0 = 0으로 맞습니다. 한쪽으로 모아 x(2x − 7) = 0으로 묶으면 x = 0 또는 x = 7/2입니다.
선생님 메모2022 개정 교육과정은 중학교 1~3학년군 [9수02-19]에서 다항식의 곱셈과 인수분해를 함께 다루면서, 둘이 서로 거꾸로 된 관계임을 이해하게 하라고 적고 있습니다. 해설에 나오는 곱셈 공식은 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d) 여섯 가지입니다. 방정식으로 들어가기 전에 이 전개를 몇 분 연습시키면 x² − x − 12의 짝을 찾을 때 덜 헤맵니다. 이차방정식 풀이는 [9수02-20]이고, 길이·가격·시간처럼 상황에서 나온 문제라면 두 해가 모두 말이 되는지 매번 묻게 하세요.
핵심 정리
  • 먼저 방정식을 ax² + bx + c = 0 꼴로 씁니다.
  • 영의 곱 성질: a · b = 0이면 a = 0이거나 b = 0입니다.
  • x² + bx + c에서는 곱이 c, 합이 b인 두 수를 찾습니다.
  • x로 나누지 말고 공통인수로 묶으며, 해는 모두 대입해 확인합니다.
이 과정의 출처 (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

확인한 날: 2026-10-18