Resolução por fatoração

Se (x − 2)(x + 3) = 0, então x − 2 = 0 ou x + 3 = 0, e as soluções são 2 e −3. Nenhum outro número torna o produto zero.

Dividir os dois membros por x perde uma raiz

Eis um passo tentador. Para resolver x² = 5x, divida os dois membros por x e obtenha x = 5. Confere: 25 = 25. Mas x = 0 também serve, já que 0 = 0, e ele desapareceu. Dividir por x só é permitido quando x não é 0, e 0 era justamente a solução jogada fora. O caminho seguro deixa tudo de um lado: x² − 5x = 0, então x(x − 5) = 0, e saem tanto 0 quanto 5. O resto desta página trata desse caminho.

Se um produto é 0, um dos fatores é 0

Uma equação do segundo grau (equação quadrática) é uma equação com um polinômio de grau dois, em geral escrita na forma padrão ax² + bx + c = 0. Muitas vezes o jeito mais fácil de resolvê-la é a fatoração. Ela se apoia num único fato, a propriedade do produto nulo: se a · b = 0, então a = 0 ou b = 0. O motivo é que qualquer coisa multiplicada por zero dá zero, e dois números diferentes de zero nunca têm produto zero. Então, se o primeiro membro puder ser escrito como produto de dois fatores mais simples, a pergunta difícil se divide em duas fáceis.

Fatorar é a multiplicação feita ao contrário. O OpenStax mostra isso com (x − 2)(x + 3): desenvolvendo, você obtém x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6. Então a equação x² + x − 6 = 0 pode ser reescrita como (x − 2)(x + 3) = 0. Pela propriedade do produto nulo, x − 2 = 0 ou x + 3 = 0, o que dá x = 2 ou x = −3. Confira as duas: 4 + 2 − 6 = 0 e 9 − 3 − 6 = 0. No gráfico de y = x² + x − 6, esses são os dois zeros (cortes no eixo x).

Produto 6, soma −5: achando o par de x² − 5x + 6

Para x² + bx + c, procure dois números cujo produto seja c e cuja soma seja b. Para x² − 5x + 6 você precisa de produto 6 e soma −5. Os pares de produto 6 são 1 e 6, 2 e 3, e seus opostos; só −2 e −3 somam −5. Então x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), e as soluções são 2 e 3. Os sinais dão pistas: c positivo quer dizer que os dois números têm o mesmo sinal, o sinal de b; c negativo quer dizer que um é positivo e o outro negativo.

Vale a pena reconhecer dois casos especiais. Primeiro, o fator comum: 3x² − 12x = 0 tem 3x nos dois termos, então 3x(x − 4) = 0 e x = 0 ou x = 4. Não divida os dois membros por x. Como no início da página, isso joga fora a solução 0. Segundo, a diferença de quadrados: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), então x² − 4 = 0 dá x = 2 ou x = −2. A mesma equação também pode ser resolvida pela propriedade da raiz quadrada: x² = 4, então x = ±2.

Quando a não é 1, a busca demora um pouco mais. Para 2x² + 5x − 3 = 0, tente fatores da forma (2x + p)(x + q) com pq = −3. O par p = −1, q = 3 funciona: (2x − 1)(x + 3) = 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3. Igualando cada fator a zero, x = 1/2 e x = −3. Se nenhum par de números inteiros funcionar, o trinômio não se fatora de forma simples, e a fórmula resolutiva da próxima unidade ainda o resolve.

Um retângulo de 40 m² e a raiz que se descarta

Um retângulo tem 3 metros a mais de comprimento que de largura, e sua área é 40 metros quadrados. Chame a largura de w; o comprimento é w + 3, então w(w + 3) = 40, que vira w² + 3w − 40 = 0. Dois números com produto −40 e soma 3 são 8 e −5, então (w + 8)(w − 5) = 0 e w = −8 ou w = 5. Uma largura não pode ser negativa, então a largura é 5 m e o comprimento, 8 m. Conferência: 5 × 8 = 40. Descartar uma solução que não serve para a situação é um passo normal.