Menyelesaikan dengan pemfaktoran

Jika (x − 2)(x + 3) = 0, maka x − 2 = 0 atau x + 3 = 0, sehingga penyelesaiannya 2 dan −3. Tidak ada bilangan lain yang membuat hasil kalinya nol.

Membagi kedua ruas dengan x menghilangkan satu akar

Langkah ini tampak menggoda. Untuk menyelesaikan x² = 5x, bagi kedua ruas dengan x dan peroleh x = 5. Pemeriksaannya benar: 25 = 25. Namun x = 0 juga memenuhi, sebab 0 = 0, dan penyelesaian itu hilang. Pembagian dengan x hanya boleh dilakukan jika x bukan 0, padahal 0 justru penyelesaian yang terbuang. Cara aman menempatkan semuanya di satu ruas: x² − 5x = 0, sehingga x(x − 5) = 0, dan diperoleh 0 serta 5. Sisa halaman ini membahas cara tersebut.

Jika hasil kali bernilai 0, salah satu faktornya bernilai 0

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memuat polinom berderajat dua, biasanya ditulis dalam bentuk baku ax² + bx + c = 0. Sering kali cara termudah menyelesaikannya adalah pemfaktoran. Dasarnya satu fakta, sifat hasil kali nol: jika a · b = 0, maka a = 0 atau b = 0. Alasannya, bilangan apa pun dikali nol menghasilkan nol, dan dua bilangan bukan nol tidak pernah menghasilkan nol. Jadi jika ruas kiri dapat ditulis sebagai hasil kali dua faktor yang lebih sederhana, pertanyaan sulit itu terpecah menjadi dua pertanyaan mudah.

Pemfaktoran adalah kebalikan perkalian. OpenStax mencontohkannya dengan (x − 2)(x + 3): uraikan perkaliannya dan diperoleh x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6. Jadi persamaan x² + x − 6 = 0 dapat ditulis ulang sebagai (x − 2)(x + 3) = 0. Dengan sifat hasil kali nol, x − 2 = 0 atau x + 3 = 0, sehingga x = 2 atau x = −3. Periksa keduanya: 4 + 2 − 6 = 0 dan 9 − 3 − 6 = 0. Pada grafik y = x² + x − 6, keduanya adalah titik potong sumbu x.

Hasil kali 6, jumlah −5: mencari pasangan untuk x² − 5x + 6

Untuk x² + bx + c, cari dua bilangan yang hasil kalinya c dan jumlahnya b. Untuk x² − 5x + 6, diperlukan hasil kali 6 dan jumlah −5. Pasangan yang hasil kalinya 6 adalah 1 dan 6, 2 dan 3, serta pasangan negatifnya; hanya −2 dan −3 yang jumlahnya −5. Jadi x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), dan penyelesaiannya 2 serta 3. Tandanya memberi petunjuk: c positif berarti kedua bilangan bertanda sama, yaitu tanda b; c negatif berarti salah satunya positif dan yang lain negatif.

Ada dua bentuk khusus yang perlu dikenali. Pertama, faktor persekutuan terbesar: 3x² − 12x = 0 memiliki 3x pada kedua suku, sehingga 3x(x − 4) = 0 dan x = 0 atau x = 4. Jangan membagi kedua ruas dengan x. Seperti di awal halaman, langkah itu membuang penyelesaian 0. Kedua, selisih dua kuadrat: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), sehingga x² − 4 = 0 memberikan x = 2 atau x = −2. Persamaan yang sama juga dapat diselesaikan dengan sifat akar kuadrat: x² = 4, sehingga x = ±2.

Jika a bukan 1, pencarian memerlukan waktu sedikit lebih lama. Untuk 2x² + 5x − 3 = 0, coba faktor berbentuk (2x + p)(x + q) dengan pq = −3. Pasangan p = −1, q = 3 cocok: (2x − 1)(x + 3) = 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3. Menyamakan tiap faktor dengan nol memberi x = 1/2 dan x = −3. Jika tidak ada pasangan bilangan bulat yang cocok, bentuk kuadrat itu tidak mudah difaktorkan, tetapi rumus kuadrat pada unit berikutnya tetap dapat menyelesaikannya.

Persegi panjang 40 m² dan akar yang harus dibuang

Sebuah persegi panjang memiliki panjang 3 meter lebih dari lebarnya dan luas 40 meter persegi. Misalkan lebarnya w; panjangnya w + 3, sehingga w(w + 3) = 40, yang menjadi w² + 3w − 40 = 0. Dua bilangan dengan hasil kali −40 dan jumlah 3 adalah 8 dan −5. Maka (w + 8)(w − 5) = 0 dan w = −8 atau w = 5. Lebar tidak mungkin negatif, jadi lebarnya 5 m dan panjangnya 8 m. Periksa: 5 × 8 = 40. Menolak penyelesaian yang tidak sesuai keadaan adalah langkah yang wajar.