Решение разложением на множители

Если (x − 2)(x + 3) = 0, то x − 2 = 0 или x + 3 = 0, поэтому решения 2 и −3. Никакое другое число не обращает произведение в нуль.

Деление обеих частей на x теряет корень

Вот заманчивый ход. Чтобы решить x² = 5x, разделим обе части на x и получим x = 5. Проверка верна: 25 = 25. Но x = 0 тоже подходит, поскольку 0 = 0, а он исчез. Делить на x разрешено только при x, не равном 0, и именно решение 0 потерялось. Надёжный путь: перенести всё в одну часть, x² − 5x = 0, затем x(x − 5) = 0. Получаем и 0, и 5. Дальше речь пойдёт об этом способе.

Если произведение равно 0, один из множителей равен 0

Квадратное уравнение содержит многочлен второй степени и обычно записывается в виде ax² + bx + c = 0. Часто проще всего решить его разложением на множители. В основе лежит свойство нулевого произведения: если a · b = 0, то a = 0 или b = 0. Причина проста: умножение на нуль даёт нуль, а произведение двух ненулевых чисел не может быть нулём. Если левую часть удаётся записать произведением двух более простых множителей, трудная задача распадается на две лёгкие.

Разложение на множители обращает умножение. OpenStax показывает это на (x − 2)(x + 3): раскрыв скобки, получим x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6. Поэтому уравнение x² + x − 6 = 0 можно переписать как (x − 2)(x + 3) = 0. По свойству нулевого произведения x − 2 = 0 или x + 3 = 0, откуда x = 2 или x = −3. Проверим оба: 4 + 2 − 6 = 0 и 9 − 3 − 6 = 0. На графике y = x² + x − 6 это две точки пересечения с осью x.

Произведение 6, сумма −5: ищем пару для x² − 5x + 6

Для x² + bx + c ищи два числа, произведение которых равно c, а сумма b. Для x² − 5x + 6 нужны произведение 6 и сумма −5. Произведение 6 дают пары 1 и 6, 2 и 3, а также их отрицательные варианты; только −2 и −3 дают сумму −5. Поэтому x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), а решения равны 2 и 3. Знаки подсказывают: положительное c означает одинаковые знаки обоих чисел, совпадающие со знаком b; отрицательное c означает разные знаки.

Полезно замечать два особых случая. Первый: общий множитель. В 3x² − 12x = 0 оба члена содержат 3x, поэтому 3x(x − 4) = 0 и x = 0 или x = 4. Не дели обе части на x: как в начале страницы, это теряет решение 0. Второй: разность квадратов, x² − 4 = (x − 2)(x + 2), поэтому x² − 4 = 0 даёт x = 2 или x = −2. То же уравнение решается извлечением корня: x² = 4, значит x = ±2.

Если a не равно 1, поиск немного дольше. Для 2x² + 5x − 3 = 0 попробуй множители (2x + p)(x + q) при pq = −3. Подходит пара p = −1, q = 3: (2x − 1)(x + 3) = 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3. Приравнивая каждый множитель нулю, получаем x = 1/2 и x = −3. Если целые числа не подходят, удобного разложения нет, но формула корней в следующем уроке всё равно решит уравнение.

Прямоугольник 40 м² и корень, который надо отбросить

Длина прямоугольника на 3 метра больше ширины, а площадь равна 40 квадратным метрам. Обозначим ширину w; длина w + 3, поэтому w(w + 3) = 40, или w² + 3w − 40 = 0. Произведение −40 и сумму 3 дают 8 и −5, значит (w + 8)(w − 5) = 0 и w = −8 или w = 5. Ширина не может быть отрицательной, поэтому она равна 5 м, а длина 8 м. Проверка: 5 × 8 = 40. Отбрасывание решения, не подходящего по смыслу, является обычным шагом.