Дискриминант
Для x² + 2x + 5 = 0 имеем b² − 4ac = 4 − 20 = −16. Одно отрицательное число ещё до решения показывает, что парабола не касается оси x.
Достигнет ли струя фонтана 5 метров?
Представь фонтан в парке. Струя вылетает из сопла на земле и падает в 4 метрах от него, а её высота на расстоянии x метров равна y = −x² + 4x метров. (Фонтан и числа вымышлены.) Достигает ли вода 5 метров? Запишем −x² + 4x = 5 и приведём к виду x² − 4x + 5 = 0. Тогда b² − 4ac = 16 − 20 = −4. Отрицательно. Ни одно действительное x не подходит, значит вода не поднимается так высоко. Попробуем 3 метра. Для x² − 4x + 3 = 0 получаем 16 − 12 = 4, поэтому струя проходит эту высоту дважды: при x = 1 и x = 3. Для 4 метров получаем 16 − 16 = 0: струя достигает этой высоты один раз, в верхней точке при x = 2. Для первого вопроса не пришлось искать ни одного корня, хватило знака b² − 4ac.
b² − 4ac определяет число решений
В формуле корней под квадратным корнем стоит выражение b² − 4ac. Оно называется дискриминантом, потому что позволяет различать типы решений уравнения. Всё определяет знак. Если он положителен, квадратный корень действителен и ± даёт два разных решения. Если равен нулю, ± ничего не прибавляет и не вычитает, поэтому оба ответа совпадают. Если отрицателен, действительного квадратного корня нет и уравнение не имеет действительных решений.
OpenStax делит положительный случай ещё на два. Если b² − 4ac является положительным полным квадратом, например 1, 16 или 25, его корень целый, а оба решения рациональны, поэтому уравнение можно было разложить на множители. Если он положителен, но не является полным квадратом, например 5 или 17, решения содержат иррациональный корень. Таблица объединяет все четыре случая. При отрицательном дискриминанте решения являются комплексными числами с корнем из отрицательного числа. Они изучаются позже и на графике действительных чисел не видны.
| b² − 4ac | Решения | Пример |
|---|---|---|
| положительный полный квадрат | два рациональных корня, 2 пересечения с осью x | x² − 5x + 6: 1 |
| положительное число, не полный квадрат | два иррациональных корня, 2 пересечения с осью x | x² + x − 1: 5 |
| ноль | один двукратный корень, касание в вершине | x² − 4x + 4: 0 |
| отрицательное число | нет действительных корней, нет пересечений с осью x | x² + 2x + 5: −16 |
Два пересечения, одно касание или ничего
Решения ax² + bx + c = 0 соответствуют пересечениям y = ax² + bx + c с осью x, поэтому дискриминант также определяет их число. Положительный означает, что парабола пересекает ось x дважды. Нулевой означает касание в вершине: поэтому вершина y = (x − 3)² лежит на оси. Отрицательный означает, что вся парабола остаётся выше оси (при a > 0) или ниже (при a < 0). Для y = 2x² − 3x + 5 имеем b² − 4ac = 9 − 40 = −31, а поскольку a > 0, кривая находится над осью.
Обратная задача: при каком c кривая касается оси?
Поскольку дискриминант выражается через a, b и c, можно рассуждать в обратную сторону. При каком c график x² − 6x + c касается оси x ровно один раз? Приравняем дискриминант нулю: 36 − 4c = 0, откуда c = 9. Действительно, x² − 6x + 9 = (x − 3)². Какое положительное k даёт уравнению x² + kx + 9 = 0 двукратный корень? k² − 36 = 0, поэтому k = 6. В задаче о фонтане применялся тот же подход. Прежде чем тратить время на поиск решения, спроси, существует ли оно.
Лаборатория начинает с y = x² − 4x + 4, где дискриминант равен 0. Уменьши c на один: дискриминант станет положительным и появятся два пересечения. Увеличь c: он станет отрицательным и парабола поднимется над осью. Следи за панелью: она вычисляет b² − 4ac для твоих чисел и называет случай.
Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.
- Чему равен дискриминант x² − 5x + 6 = 0?
- Чему равен дискриминант 3x² + 2x − 1 = 0?
- Чему равен дискриминант 2x² − 3x + 5 = 0?
- Сколько действительных решений у x² − 4x + 4 = 0?
- Одно (двукратный корень)
- Два
- Ни одного
- Бесконечно много
- Какие решения имеет x² + x − 1 = 0?
- Два иррациональных
- Два рациональных
- Один двукратный корень
- Нет действительных решений
- Какие решения имеет x² + 2x + 5 = 0?
- Нет действительных решений
- Два рациональных
- Два иррациональных
- Один двукратный корень
- При каком положительном k у x² + kx + 9 = 0 ровно одно решение?
- Сколько пересечений с осью x у y = −x² + 4x − 5?
- При каком c график y = x² − 6x + c касается оси x ровно один раз?
- Дискриминант квадратного уравнения равен 49. Каковы его решения?
- Два рациональных решения
- Два иррациональных решения
- Один двукратный корень
- Нет действительных решений
- При b = −5 записали b² = −25. Квадрат отрицательного числа положителен: (−5)² = (−5) × (−5) = 25. Для x² − 5x + 4 = 0 ошибка даёт −25 − 16 = −41 и вывод «нет действительных решений». Верное значение 25 − 16 = 9, а 1 и 4 оба подходят.
- −4ac считают отрицательным при отрицательном c, как в x² + 4x − 5 = 0: 16 − 20 = −4. −4(1)(−5) = +20, поэтому b² − 4ac = 16 + 20 = 36, а решения 1 и −5. Если a и c имеют разные знаки, −4ac положительно, значит дискриминант положителен и всегда есть два действительных решения.
- Дискриминант 0 приняли за отсутствие решений. Нуль означает одно решение, двукратный корень. В x² − 8x + 16 = 0 имеем b² − 4ac = 64 − 64 = 0 и x = 4. Отсутствию действительных решений соответствует отрицательный дискриминант.
- Считают, что отрицательный дискриминант означает отрицательные решения. Знак дискриминанта ничего не говорит о знаках корней. Для x² + 4x + 3 = 0 имеем b² − 4ac = 16 − 12 = 4, положительное число, а оба корня, −1 и −3, отрицательны.
- Дискриминант равен b² − 4ac, это выражение под квадратным корнем.
- Положительный: два действительных решения (рациональные для полного квадрата). Нулевой: один двукратный корень. Отрицательный: действительных решений нет.
- Он также определяет число пересечений с осью x: 2, 1 или 0.
- Приравняй его к 0, чтобы найти значение, при котором парабола касается оси.
Источники курса (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Проверено: 2026-10-18