Le discriminant

Pour x² + 2x + 5 = 0, b² − 4ac = 4 − 20 = −16. Avant même de résoudre, ce nombre négatif indique que la parabole ne touche jamais l'axe des abscisses.

Le jet de la fontaine atteindra-t-il 5 mètres ?

Imagine une fontaine dans un parc. Le jet part d'une buse au sol et retombe 4 mètres plus loin. À x mètres de la buse, sa hauteur est y = −x² + 4x mètres. (La fontaine et ses données sont fictives.) L'eau atteint-elle 5 mètres ? Pose −x² + 4x = 5 et réorganise : x² − 4x + 5 = 0. Alors b² − 4ac = 16 − 20 = −4. Négatif. Aucun x réel ne convient : l'eau ne monte jamais aussi haut. Essaie plutôt 3 mètres. x² − 4x + 3 = 0 donne 16 − 12 = 4 : le jet passe deux fois à cette hauteur, en x = 1 et x = 3. Pour 4 mètres, le nombre vaut 16 − 16 = 0 et le jet ne touche cette hauteur qu'une fois, au sommet, en x = 2. Pour répondre à la première question, il n'a fallu calculer aucune racine, seulement le signe de b² − 4ac.

b² − 4ac détermine le nombre de solutions

Dans la formule de résolution, l'expression b² − 4ac se trouve sous la racine carrée. On l'appelle discriminant, car elle permet de distinguer les types de solutions. Son signe décide de tout. S'il est positif, sa racine carrée est réelle et le ± donne deux solutions distinctes. S'il est nul, le ± ajoute et retranche zéro : les deux réponses sont le même nombre. S'il est négatif, il n'a pas de racine carrée réelle et l'équation n'a aucune solution réelle.

OpenStax distingue deux cas positifs. Si b² − 4ac est un carré parfait positif, comme 1, 16 ou 25, sa racine carrée est un entier et les deux solutions sont rationnelles : on aurait aussi pu factoriser. S'il est positif sans être un carré parfait, comme 5 ou 17, les solutions contiennent une racine carrée irrationnelle. Le tableau rassemble les quatre cas. Dans le cas négatif, les solutions sont des nombres complexes, qui font intervenir la racine carrée d'un nombre négatif. Elles seront étudiées plus tard et n'apparaissent pas sur un graphique réel.

Deux intersections, un contact ou aucun point commun

Les solutions de ax² + bx + c = 0 sont les abscisses des intersections de y = ax² + bx + c avec l'axe des abscisses : le discriminant permet donc aussi de compter ces intersections. Positif, il indique que la parabole coupe l'axe deux fois. Nul, il indique qu'elle le touche seulement au sommet ; c'est pourquoi le sommet de y = (x − 3)² est sur l'axe. Négatif, il indique que toute la parabole reste au-dessus de l'axe si a > 0, ou au-dessous si a < 0. Pour y = 2x² − 3x + 5, b² − 4ac = 9 − 40 = −31 et, comme a > 0, la courbe reste au-dessus de l'axe.

Raisonner à l'envers : quel c fait toucher l'axe à la courbe ?

Le discriminant est une expression en a, b et c : on peut donc raisonner à l'envers. Quel c fait toucher une seule fois l'axe des abscisses à x² − 6x + c ? Pose le discriminant égal à zéro : 36 − 4c = 0, donc c = 9, et effectivement x² − 6x + 9 = (x − 3)². Quel k positif donne une racine double à x² + kx + 9 = 0 ? k² − 36 = 0, donc k = 6. Le problème de la fontaine suivait la même démarche : demande si une solution existe avant de la chercher.

Le laboratoire démarre avec y = x² − 4x + 4, dont le discriminant vaut 0. Diminue c d'une unité : le discriminant devient positif et deux intersections apparaissent. Augmente c : il devient négatif et la parabole se détache de l'axe. Observe le panneau : il calcule b² − 4ac avec tes valeurs et indique le cas obtenu.