Résoudre par factorisation

Si (x − 2)(x + 3) = 0, alors x − 2 = 0 ou x + 3 = 0 : les solutions sont donc 2 et −3. Aucun autre nombre n'annule le produit.

Diviser les deux membres par x fait perdre une racine

Voici une manipulation tentante. Pour résoudre x² = 5x, divise les deux membres par x : tu obtiens x = 5. Cela fonctionne : 25 = 25. Mais x = 0 convient aussi, puisque 0 = 0, et cette solution a disparu. On ne peut diviser par x que si x est différent de 0 ; or 0 est précisément la solution éliminée. La méthode sûre regroupe tout dans un même membre : x² − 5x = 0, donc x(x − 5) = 0, ce qui donne à la fois 0 et 5. C'est cette méthode que présente la suite.

Si un produit vaut 0, l'un de ses facteurs vaut 0

Une équation du second degré contient un polynôme de degré 2 et s'écrit habituellement ax² + bx + c = 0. La factorisation est souvent le moyen le plus simple de la résoudre. Elle repose sur la règle du produit nul : si a · b = 0, alors a = 0 ou b = 0. Multiplier un nombre par zéro donne zéro, tandis que le produit de deux nombres non nuls n'est jamais nul. Si le membre de gauche s'écrit comme un produit de deux facteurs plus simples, la question difficile se décompose donc en deux questions faciles.

Factoriser, c'est multiplier à l'envers. OpenStax l'illustre avec (x − 2)(x + 3) : en développant, on obtient x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6. L'équation x² + x − 6 = 0 peut donc s'écrire (x − 2)(x + 3) = 0. D'après la règle du produit nul, x − 2 = 0 ou x + 3 = 0, d'où x = 2 ou x = −3. Vérifie les deux : 4 + 2 − 6 = 0 et 9 − 3 − 6 = 0. Sur la courbe de y = x² + x − 6, ce sont les deux intersections avec l'axe des abscisses.

Produit 6, somme −5 : trouver la paire pour x² − 5x + 6

Pour x² + bx + c, cherche deux nombres dont le produit vaut c et la somme b. Pour x² − 5x + 6, il faut un produit de 6 et une somme de −5. Les paires dont le produit vaut 6 sont 1 et 6, 2 et 3, et leurs opposés ; seuls −2 et −3 ont pour somme −5. Donc x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), et les solutions sont 2 et 3. Les signes donnent des indices : si c est positif, les deux nombres ont le même signe, celui de b ; si c est négatif, l'un est positif et l'autre négatif.

Deux formes particulières sont à repérer. D'abord, un facteur commun : dans 3x² − 12x = 0, les deux termes contiennent 3x, donc 3x(x − 4) = 0 et x = 0 ou x = 4. Ne divise pas les deux membres par x : comme au début, cela élimine la solution 0. Ensuite, une différence de deux carrés : x² − 4 = (x − 2)(x + 2), donc x² − 4 = 0 donne x = 2 ou x = −2. On peut aussi utiliser la propriété des racines carrées : x² = 4, donc x = ±2.

Si a est différent de 1, la recherche prend un peu plus de temps. Pour 2x² + 5x − 3 = 0, essaie des facteurs de la forme (2x + p)(x + q), avec pq = −3. La paire p = −1, q = 3 convient : (2x − 1)(x + 3) = 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3. En annulant chaque facteur, on obtient x = 1/2 et x = −3. Si aucune paire d'entiers ne convient, la factorisation n'est pas simple, mais la formule de résolution de l'unité suivante permet toujours de résoudre l'équation.

Un rectangle de 40 m² et la racine à écarter

Un rectangle mesure 3 mètres de plus en longueur qu'en largeur et son aire est de 40 mètres carrés. Appelle sa largeur w ; sa longueur est w + 3, donc w(w + 3) = 40, soit w² + 3w − 40 = 0. Deux nombres de produit −40 et de somme 3 sont 8 et −5 : (w + 8)(w − 5) = 0, d'où w = −8 ou w = 5. Une largeur ne peut pas être négative : elle vaut donc 5 m et la longueur 8 m. Vérification : 5 × 8 = 40. Écarter une solution incompatible avec la situation fait partie de la résolution.