Oplossen door ontbinden in factoren

Als (x − 2)(x + 3) = 0, dan x − 2 = 0 of x + 3 = 0: oplossingen 2 en −3. Geen ander getal maakt het product nul.

Beide kanten door x delen verliest een oplossing

Hier is een verleidelijke stap. Deel om x² = 5x op te lossen beide kanten door x: je krijgt x = 5. De controle klopt, want 25 = 25. Maar x = 0 werkt ook, omdat 0 = 0, en die oplossing is verdwenen. Delen door x mag alleen als x niet 0 is. Juist 0 was de weggegooide oplossing. De veilige route brengt alles naar één kant: x² − 5x = 0, dus x(x − 5) = 0. Dan vind je zowel 0 als 5. De rest van deze pagina gaat over die route.

Is een product 0, dan is één factor 0

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking met een tweedegraadspolynoom, meestal in de standaardvorm ax² + bx + c = 0. Ontbinden in factoren is vaak de eenvoudigste oplossing. Dat berust op één feit, de nulproductregel: als a · b = 0, dan is a = 0 of b = 0. Vermenigvuldigen met nul geeft immers altijd nul, terwijl het product van twee niet-nulgetallen nooit nul is. Kun je de linkerkant als product van twee eenvoudigere factoren schrijven, dan valt de moeilijke vraag uiteen in twee eenvoudige.

Ontbinden in factoren is vermenigvuldigen in omgekeerde richting. OpenStax laat dat zien met (x − 2)(x + 3). Uitwerken geeft x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6. Je kunt x² + x − 6 = 0 dus herschrijven als (x − 2)(x + 3) = 0. Volgens de nulproductregel is x − 2 = 0 of x + 3 = 0. Dat geeft x = 2 of x = −3. Controleer beide: 4 + 2 − 6 = 0 en 9 − 3 − 6 = 0. In de grafiek van y = x² + x − 6 zijn dit de twee snijpunten met de x-as.

Product 6, som −5: het paar bij x² − 5x + 6

Zoek voor x² + bx + c twee getallen waarvan het product c en de som b is. Bij x² − 5x + 6 heb je een product van 6 en een som van −5 nodig. Getallenparen met product 6 zijn 1 en 6, 2 en 3 en hun negatieve varianten. Alleen −2 en −3 hebben som −5. Dus x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), met oplossingen 2 en 3. De tekens geven aanwijzingen: bij positieve c hebben beide getallen hetzelfde teken, dat van b. Bij negatieve c is het ene positief en het andere negatief.

Twee bijzondere vormen zijn nuttig om te herkennen. Eerst een grootste gemeenschappelijke factor: in 3x² − 12x = 0 bevatten beide termen 3x. Dus 3x(x − 4) = 0 en x = 0 of x = 4. Deel niet beide kanten door x. Zoals bovenaan de pagina zou je daarmee de oplossing 0 weggooien. De tweede vorm is een verschil van kwadraten: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Dus x² − 4 = 0 geeft x = 2 of x = −2. Je kunt dezelfde vergelijking ook met worteltrekken oplossen: x² = 4, dus x = ±2.

Bij a niet gelijk aan 1 duurt zoeken langer. Probeer bij 2x² + 5x − 3 = 0 vormen (2x + p)(x + q) met pq = −3. p = −1 en q = 3 werken: (2x − 1)(x + 3) = 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3. Elke factor nul geeft x = 1/2 en x = −3. Werkt geen geheel paar, dan is ontbinden lastig, maar de abc-formule uit het volgende hoofdstuk werkt nog steeds.

Een rechthoek van 40 m² en de afgewezen oplossing

Een rechthoek is 3 meter langer dan breed en heeft een oppervlakte van 40 vierkante meter. Noem de breedte w. De lengte is w + 3, dus w(w + 3) = 40. Dat wordt w² + 3w − 40 = 0. Twee getallen met product −40 en som 3 zijn 8 en −5. Daarom is (w + 8)(w − 5) = 0 en w = −8 of w = 5. Een breedte kan niet negatief zijn, dus de breedte is 5 m en de lengte 8 m. Controleer: 5 × 8 = 40. Een oplossing die niet bij de situatie past verwerpen, is een normale stap.