Topvorm

f(x) = 2x² + 4x − 4 en f(x) = 2(x + 1)² − 6 zijn dezelfde functie; alleen de tweede toont direct top (−1, −6).

Waar ligt het laagste punt van 2x² + 4x − 4?

Probeer dit voordat je verder leest. Waar ligt het laagste punt van f(x) = 2x² + 4x − 4? Met een tabel kom je er, maar langzaam. f(0) = −4, f(−1) = −6 en f(−2) = −4. De twee waarden −4 liggen even ver van x = −1. De onderkant ligt dus bij x = −1 en het minimum is −6. Dat kostte drie berekeningen en een gelukkige gok. Als je dezelfde functie als 2(x + 1)² − 6 schrijft, zie je (−1, −6) zonder tabel.

Waarom a(x − h)² + k top (h, k) heeft

Een kwadratische functie kun je ook schrijven als f(x) = a(x − h)² + k. OpenStax noemt dit de standaardvorm. Omdat je de top direct ziet, heet het ook de topvorm. De top is het punt (h, k). De reden is kort: (x − h)² is een kwadraat, dus nooit negatief, en precies 0 bij x = h. Bij a > 0 is de kleinste waarde van a(x − h)² dus 0. De kleinste waarde van f is daarom k, bereikt bij x = h. Bij a < 0 geeft dezelfde redenering de grootste waarde.

Let op het teken binnen haakjes. f(x) = (x − 3)² + 2 heeft top (3, 2), met positieve 3. Bij het OpenStax-voorbeeld f(x) = −3(x + 2)² + 4 is x + 2 hetzelfde als x − (−2): h = −2 en top (−2, 4). Omdat a = −3 negatief is, opent de parabool omlaag, is 4 maximaal en omvat het bereik alle y ≤ 4. De verticale symmetrieas is x = h, hier x = −2.

Eerst h = −b/(2a), dan k = f(h)

Bij een functie in de vorm ax² + bx + c kun je de top snel vinden. De symmetrieas is x = −b/(2a), dus dat is h. Daarna is k gewoon de uitvoer bij h: k = f(h). Terug naar de beginvraag met f(x) = 2x² + 4x − 4. Hier is h = −4/(2 × 2) = −1 en k = f(−1) = 2(1) − 4 − 4 = −6. Houd dezelfde a en schrijf f(x) = 2(x + 1)² − 6. Uitwerken bevestigt het: 2(x² + 2x + 1) − 6 = 2x² + 4x + 2 − 6 = 2x² + 4x − 4.

Waarom −b/(2a)? Werk a(x − h)² + k uit en je krijgt ax² − 2ahx + (ah² + k). Vergelijk dit term voor term met ax² + bx + c. Dan is b = −2ah en oplossen naar h geeft h = −b/(2a). Dezelfde vergelijking laat zien dat c = ah² + k. Beide vormen bevatten dus dezelfde informatie. De ene is handig om de top af te lezen, de andere om het snijpunt c met de y-as te vinden.

Een andere route is kwadraatafsplitsen. Neem x² − 6x + 7. De helft van −6 is −3 en (−3)² = 9. Tel 9 op en trek af: x² − 6x + 9 − 9 + 7 = (x − 3)² − 2. Top (3, −2). Beide methoden moeten kloppen: −b/(2a) = 6/2 = 3 en f(3) = 9 − 18 + 7 = −2.

y = x² verschuiven tot top (h, k)

De topvorm vertelt ook hoe je de grafiek uit y = x² tekent. Neem de basisgrafiek, rek haar uit met a en spiegel haar als a negatief is. Verplaats haar h eenheden zijwaarts en k eenheden omhoog of omlaag. De top (0, 0) van y = x² komt op (h, k) terecht. Versleep in het practicum de rode top. Het paneel herschrijft de topvorm en algemene vorm tegelijk. Zo zie je b en c veranderen terwijl de vorm gelijk blijft.