꼭짓점 꼴
f(x) = 2x² + 4x − 4와 f(x) = 2(x + 1)² − 6은 같은 함수이지만, 꼭짓점 (−1, −6)이 한눈에 보이는 것은 둘째 식입니다.
2x² + 4x − 4의 가장 낮은 점은 어디일까요?
읽기 전에 먼저 풀어 보세요. f(x) = 2x² + 4x − 4에서 가장 낮은 점은 어디일까요? 표를 만들면 답이 나오기는 합니다. f(0) = −4, f(−1) = −6, f(−2) = −4입니다. −4가 x = −1에서 양쪽으로 똑같이 떨어진 두 곳에서 나오니 바닥은 x = −1이고, 최솟값은 −6입니다. 값을 세 번 계산했고 짐작도 운 좋게 맞았습니다. 표로 찾을 때는 같은 값이 나오는 두 x를 찾아 그 한가운데를 고르면 됩니다. 같은 함수를 2(x + 1)² − 6으로 쓰면 표 없이도 (−1, −6)이 바로 보입니다. 이 단원은 그렇게 쓰는 방법을 다룹니다.
a(x − h)² + k의 꼭짓점이 (h, k)인 까닭
이차함수는 f(x) = a(x − h)² + k 꼴로도 쓸 수 있습니다. OpenStax 교재는 이 꼴을 표준형이라고 하고, 꼭짓점이 식에 그대로 보여서 꼭짓점 꼴이라고도 부릅니다. 꼭짓점은 (h, k)입니다. 이유는 짧습니다. (x − h)²는 제곱이라 음수가 될 수 없고, x = h일 때만 0이 됩니다. 그래서 a > 0이면 a(x − h)²의 가장 작은 값이 0이고, f의 최솟값은 x = h에서 나오는 k입니다. a < 0이면 같은 이유로 k가 최댓값입니다.
괄호 안의 부호는 뒤집어 읽어야 합니다. f(x) = (x − 3)² + 2의 꼭짓점은 (3, 2)이고, 3은 양수입니다. OpenStax 교재의 예 f(x) = −3(x + 2)² + 4에서는 x + 2를 x − (−2)로 읽어야 하므로 h = −2, 꼭짓점은 (−2, 4)입니다. a = −3이 음수라 아래로 열리고, 4가 최댓값이며, 치역은 y ≤ 4인 모든 y입니다. 축은 언제나 세로선 x = h이고, 이 함수에서는 x = −2입니다.
h = −b/(2a)로 축을 찾고, k = f(h)로 높이를 구합니다
ax² + bx + c 꼴에서는 꼭짓점을 두 단계로 찾습니다. 먼저 축의 식 x = −b/(2a)로 h를 구하고, 그 h를 함수에 넣어 k = f(h)를 구합니다. 처음 문제 f(x) = 2x² + 4x − 4에 해 보면 h = −4/(2 × 2) = −1이고, k = f(−1) = 2(1) − 4 − 4 = −6입니다. a는 그대로 두고 f(x) = 2(x + 1)² − 6이라고 쓰면 끝입니다. 전개해서 맞는지 확인할 수 있습니다. 2(x² + 2x + 1) − 6 = 2x² + 4x + 2 − 6 = 2x² + 4x − 4입니다.
−b/(2a)는 어디서 나왔을까요? a(x − h)² + k를 전개하면 ax² − 2ahx + (ah² + k)입니다. 이것을 ax² + bx + c와 항마다 맞춰 보면 b = −2ah이고, h에 대해 풀면 h = −b/(2a)입니다. 상수항끼리 맞추면 c = ah² + k도 나옵니다. 두 꼴에 담긴 정보는 같습니다. 꼭짓점을 읽기에는 꼭짓점 꼴이 편하고, y절편 c를 읽기에는 일반형이 편할 뿐입니다.
완전제곱식을 만들어도 꼭짓점이 나옵니다. x² − 6x + 7에서 x의 계수 −6의 절반은 −3이고, (−3)² = 9입니다. 9를 더했다가 바로 빼면 x² − 6x + 9 − 9 + 7 = (x − 3)² − 2가 되어 꼭짓점은 (3, −2)입니다. 두 방법은 같은 답을 내야 하고, 실제로 −b/(2a) = 6/2 = 3, f(3) = 9 − 18 + 7 = −2로 같습니다. 완전제곱식 만들기는 다음 단원에서 근의 공식을 이끌어 낼 때 다시 씁니다.
y = x²의 그래프를 평행이동하기
꼭짓점 꼴을 보면 y = x²의 그래프에서 출발해 그리는 순서도 보입니다. 먼저 세로로 a배 늘이고(a가 음수이면 x축에 대해 뒤집고), 그다음 x축 방향으로 h만큼, y축 방향으로 k만큼 평행이동합니다. 그러면 y = x²의 꼭짓점 (0, 0)이 (h, k)로 옮겨 갑니다. 실험실에서 빨간 꼭짓점을 끌어 보세요. 아래 칸에 꼭짓점 꼴과 일반형이 함께 다시 쓰여서, 모양은 그대로인데 b와 c만 바뀌는 것을 볼 수 있습니다. 예를 들어 y = 2(x + 1)² − 6은 y = 2x²의 그래프를 x축 방향으로 −1만큼, y축 방향으로 −6만큼 평행이동한 그래프입니다.
끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.
- y = (x − 3)² + 2의 꼭짓점은 어디일까요?
- (3, 2)
- (−3, 2)
- (2, 3)
- (3, −2)
- y = −3(x + 2)² + 4의 꼭짓점은 어디일까요?
- (−2, 4)
- (2, 4)
- (−3, 4)
- (4, −2)
- y = 2(x − 5)² − 1의 축은 x = ? 꼴입니다. 숫자를 쓰세요.
- y = x² − 6x + 7에서 h = −b/(2a)는 얼마일까요?
- y = x² − 6x + 7에서 꼭짓점의 y좌표 k는 얼마일까요?
- y = −(x − 1)² + 5에는 최솟값과 최댓값 가운데 무엇이 있고, 그 값은 얼마일까요?
- 최댓값 5
- 최솟값 5
- 최댓값 1
- 최솟값 −5
- y = 2(x + 1)² − 6의 치역은 무엇일까요?
- y ≥ −6
- y ≤ −6
- y ≥ −1
- 모든 실수
- (x − 3)² − 2와 같은 일반형은 어느 것일까요?
- x² − 6x + 7
- x² − 6x − 11
- x² + 6x + 7
- x² − 3x − 2
- y = −2x² + 8x + 1에서 h는 얼마일까요?
- y = −2x² + 8x + 1의 최댓값 k는 얼마일까요?
- y = (x + 4)² − 1의 꼭짓점을 (4, −1)로 읽기 x + 4는 x − (−4)이므로 h = −4이고 꼭짓점은 (−4, −1)입니다. 괄호 안의 수와 h는 부호가 반대입니다. 괄호 밖의 k는 부호가 그대로입니다.
- y = x² + 10x + 1에서 h = 10/2 = 5로 쓰기 공식은 h = −b/(2a)이고, 앞의 마이너스까지가 공식입니다. b = 10이므로 h = −10/2 = −5입니다. 확인해 보면 f(−4)와 f(−6)이 둘 다 −23으로, −5의 양쪽에서 같습니다. 축이 정말 x = −5라는 뜻입니다.
- y = 3x² − 12x + 1에서 2a 대신 a로 나눠 h = 12/3 = 4로 쓰기 2a는 6이므로 h = 12/6 = 2입니다. 축이 x = 4라면 f(3)과 f(5)가 같아야 하는데, f(3) = 27 − 36 + 1 = −8, f(5) = 75 − 60 + 1 = 16으로 다릅니다.
- (x + 3)² − 5를 전개하며 (x + 3)² = x² + 9로 쓰기 (x + 3)² = (x + 3)(x + 3) = x² + 6x + 9입니다. 곱셈 공식 (a + b)² = a² + 2ab + b²에서 가운데 항 2ab를 빠뜨렸습니다. 꼭짓점을 옆으로 옮기는 것이 바로 이 6x입니다. 그래서 (x + 3)² − 5 = x² + 6x + 4이고, x² + 4가 아닙니다.
- 꼭짓점 꼴 f(x) = a(x − h)² + k에서 꼭짓점은 (h, k), 축은 x = h입니다.
- 괄호 안에서는 부호가 반대입니다. (x + 2)는 h = −2입니다.
- ax² + bx + c에서는 h = −b/(2a)를 구한 뒤 k = f(h)입니다.
- 완전제곱식을 만들어도 같은 결과가 나옵니다.
이 과정의 출처 (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
확인한 날: 2026-10-18