포물선
−3부터 3까지의 수를 제곱하면 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9가 나옵니다. 점으로 찍으면 포물선이라는 U자 모양이 됩니다.
a를 2, 1/2, −1로 바꿔 보세요
정의보다 실험실을 먼저 써 보겠습니다. 화면에는 y = x²와, 움직이지 않는 점선 곡선이 함께 그려져 있습니다. a를 2로 올리면 곡선이 좁아지고, x = 2에서 y가 벌써 8입니다. 이번에는 a를 1/2로 내려 보고, 그다음 −1로 바꿔 보세요. 하나는 컵을 옆으로 넓게 벌리고, 다른 하나는 컵을 엎어 놓습니다. 아래 글은 방금 본 세 장면이 왜 그렇게 되는지 차례로 설명합니다. 점선 곡선은 a = 1일 때 모습 그대로 남아 있어서 비교하는 기준이 됩니다. a를 0으로 맞추려 해도 실험실은 0을 건너뜁니다. a가 0이면 포물선이 아니라 직선이 되기 때문입니다.
끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.
−2와 2가 같은 높이에 찍히는 표
x가 1제곱으로만 들어 있는 식은 그래프가 직선입니다. 식에 x²가 들어가면 그래프가 휘기 시작합니다. 그 가운데 가장 간단한 식이 y = x²입니다. x에 −3부터 3까지 차례로 넣으면 9, 4, 1, 0이 나오고, x = 1, 2, 3에서는 같은 값이 거꾸로 1, 4, 9로 돌아옵니다. −2와 2가 똑같이 4를 내는 까닭은 음수도 제곱하면 양수가 되기 때문입니다. 표의 점을 좌표평면에 찍고 매끄러운 곡선으로 이으면, 원점에서 가장 낮고 양옆으로 갈수록 점점 가파르게 올라가는 U자 모양이 나옵니다. 표에서 x가 0에서 1로 갈 때 y는 1만 늘지만, 2에서 3으로 갈 때는 5나 늘어납니다.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
a ≠ 0일 때 y = ax² + bx + c처럼 x에 대한 이차식으로 나타나는 함수를 이차함수라고 합니다. OpenStax 교재는 이 꼴을 일반형이라고 부릅니다. 이차함수의 그래프는 언제나 포물선입니다. a가 0이면 x²항이 사라지고 그래프는 다시 직선이 되므로, a ≠ 0이라는 조건이 꼭 붙습니다. b와 c는 0이어도 상관없습니다. y = x², y = 3x² − 5, y = −x² + 4x가 모두 이차함수입니다. 반대로 y = 2x + 1이나 y = 5는 x²항이 없어서 이차함수가 아닙니다. x = 0을 넣으면 c만 남습니다. 그래서 c는 포물선이 y축과 만나는 점의 y좌표, 다시 말해 y절편입니다.
x = 1을 따라 접으면 두 쪽이 겹칩니다
포물선은 내려가다가 한 점에서 다시 올라가거나, 올라가다가 한 점에서 다시 내려옵니다. 방향이 바뀌는 그 점이 꼭짓점입니다. 위로 열린 포물선에서는 꼭짓점이 가장 낮은 점이고, 꼭짓점의 y좌표가 함수의 최솟값입니다. 아래로 열리면 꼭짓점이 가장 높은 점이 되고, 그 y좌표가 최댓값입니다. 꼭짓점을 지나는 세로 직선을 포물선의 축이라고 합니다(실험실 화면에는 대칭축이라고 나옵니다). 그래프를 축을 따라 접으면 왼쪽과 오른쪽이 꼭 겹칩니다. 손으로 그릴 때는 이 성질 덕분에 일이 절반으로 줄어듭니다. 한쪽에서 점 하나를 구하면 축 건너편 같은 높이에 짝이 되는 점이 저절로 생깁니다. 체육 시간에 친구가 골대를 향해 던진 농구공을 옆에서 보면, 공이 올라갔다가 내려오며 그리는 길도 이와 거의 같은 곡선입니다(지어낸 장면입니다). 공이 가장 높이 뜬 곳이 꼭짓점이고, 그곳을 지나는 세로선이 축입니다.
a의 부호는 방향을, 크기는 폭을 정합니다
a의 부호는 포물선이 열리는 방향을 정합니다. a > 0이면 컵처럼 위로 열리고, a < 0이면 엎어 놓은 컵처럼 아래로 열립니다. a의 절댓값은 폭을 정합니다. y = 2x²는 모든 값이 y = x²의 두 배라서 두 배 빠르게 올라가고, 그만큼 좁아 보입니다. x = 2에서 벌써 8입니다. y = (1/2)x²는 값이 모두 절반이라 곡선이 넓게 퍼지고, x = 2에서 겨우 2입니다. 정리하면 |a|가 클수록 포물선이 좁고, 작을수록 넓습니다. 맨 위 실험실에서 a를 2, 1/2, −1로 바꿨을 때 본 모습이 이 규칙 그대로입니다. 2는 y축에 바짝 붙었고, 1/2은 넓게 벌어졌고, −1은 컵을 뒤집었습니다.
- f(x) = x²일 때 f(−4)는 얼마일까요?
- y = 3x²에서 x = −2일 때 y는 얼마일까요?
- 아래로 열리는 포물선은 어느 것일까요?
- y = −2x² + 1
- y = 2x² − 1
- y = x² − 9
- y = (1/2)x²
- 가장 좁은 포물선은 어느 것일까요?
- y = 3x²
- y = x²
- y = (1/2)x²
- y = −(1/3)x²
- y = x² − 4x + 7의 y절편은 얼마일까요? y값으로 답하세요.
- 축이 x = 3인 포물선이 (1, 5)를 지납니다. 반드시 지나는 다른 점은 어느 것일까요?
- (5, 5)
- (1, −5)
- (3, 5)
- (−1, 5)
- y = x² + 2의 꼭짓점은 어디일까요?
- (0, 2)
- (2, 0)
- (0, −2)
- (−2, 0)
- 다음 가운데 이차함수는 어느 것일까요?
- y = 5 − x²
- y = 4x − 3
- y = 7
- y = 2/x
- y = −x² + 4의 최댓값은 얼마일까요?
- y = x² − 1에서 x = −2일 때 y는 얼마일까요? (x = 2일 때와 같습니다.)
| 포물선 | 이차함수의 U자 모양 그래프 |
| 꼭짓점 | 방향이 바뀌는 점. a > 0이면 가장 낮고 a < 0이면 가장 높음 |
| 축(대칭축) | 꼭짓점을 지나는 세로선 |
| ax² + bx + c의 y절편 | (0, c) |
- y = x²에 x = −3을 넣으며 −3² = −9로 쓰기 −3²는 −(3²)이라는 뜻입니다. 넣는 수는 −3 전체이므로 (−3)² = 9이고, 점은 (−3, 9)입니다. 음수를 넣을 때는 괄호부터 씌우고 제곱하세요. 계산기에 넣을 때도 괄호가 필요합니다.
- −2가 1보다 작으니 y = −2x²가 y = x²보다 넓다고 보기 폭은 a가 아니라 |a|가 정합니다. |−2| = 2는 1보다 크므로 y = −2x²가 더 좁습니다. 마이너스 부호는 그래프를 뒤집기만 합니다. y = −2x²와 y = 2x²는 폭이 같고 방향만 반대입니다.
- y = (x − 1)² − 2의 y절편을 −2로 읽기 c가 y절편인 것은 식이 ax² + bx + c 꼴일 때뿐입니다. 이 식에는 x = 0을 직접 넣어야 합니다. (0 − 1)² − 2 = 1 − 2 = −1이므로 곡선은 그림처럼 (0, −1)에서 y축과 만납니다. 그림에서 곡선이 y축을 지나는 점을 보면 바로 확인할 수 있습니다.
- a ≠ 0인 f(x) = ax² + bx + c가 이차함수이고, 그래프는 포물선입니다.
- a > 0이면 위로, a < 0이면 아래로 열리고, |a|가 클수록 좁습니다.
- 꼭짓점은 가장 낮거나 가장 높은 점이고, 포물선의 축이 꼭짓점을 지납니다.
- y절편은 (0, c)입니다.
이 과정의 출처 (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
확인한 날: 2026-10-18