A parábola
Eleve ao quadrado os números de −3 a 3 e você obtém 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. Marcados no plano, eles desenham uma forma de U chamada parábola.
Ponha a = 2, depois 1/2, depois −1
Comece pelo laboratório, não pelas definições. Ele mostra y = x² ao lado de uma cópia tracejada que fica parada. Ponha a = 2. A curva fica mais estreita e, em x = 2, já chega a 8. Agora tente 1/2. Depois −1. Um deles abre a curva; o outro a vira de cabeça para baixo. Guarde essas três imagens, porque tudo o que vem abaixo as explica.
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Por que −2 e 2 ficam na mesma altura
As retas vêm de equações em que x aparece só na primeira potência. Coloque x² na equação e o gráfico se curva. O caso mais simples é y = x². Faça uma tabela: x = −3 dá 9, x = −2 dá 4, x = −1 dá 1, x = 0 dá 0, e as mesmas saídas voltam em ordem inversa para x = 1, 2 e 3. Duas entradas diferentes, como −2 e 2, têm a mesma saída, porque um número negativo ao quadrado é positivo. Ligue os pontos com uma curva suave e você terá um U que é mais baixo na origem e sobe cada vez mais rápido dos dois lados.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Uma função que pode ser escrita como f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de 0, é uma função quadrática, e o OpenStax chama isso de forma geral. Seu gráfico é sempre uma parábola. Se a fosse 0, o termo x² sumiria e você voltaria a uma reta; por isso a condição importa. Os números b e c podem ser zero: y = x², y = 3x² − 5 e y = −x² + 4x são todas funções quadráticas. Fazendo x = 0 sobra só c, então c é o ponto de corte com o eixo y, o lugar onde a parábola cruza o eixo y.
Dobre a curva em x = 1 e as metades coincidem
Toda parábola tem um único ponto de virada, o vértice. Quando a parábola tem concavidade para cima, o vértice é seu ponto mais baixo, e sua coordenada y é o valor mínimo da função. Quando a concavidade é para baixo, o vértice é o ponto mais alto e dá o valor máximo. Pelo vértice passa uma reta vertical chamada eixo de simetria. Dobre o gráfico nessa reta e as duas metades se sobrepõem. Isso poupa trabalho. Conhecendo um ponto da curva, você ganha um segundo ponto de graça refletindo-o no eixo. Um arremesso de basquete visto de lado desenha um arco bem parecido, e o topo desse arco é o seu vértice.
Por que a = 2 é estreita e a = −1 fica de cabeça para baixo
O sinal de a decide a concavidade. Se a > 0, a parábola tem concavidade para cima, como um copo; se a < 0, para baixo, como um copo virado. O tamanho de a decide a largura. Em y = 2x², cada saída é o dobro da de y = x², então a curva sobe duas vezes mais rápido e parece mais estreita: em x = 2 ela já está em 8. Em y = (1/2)x², as saídas caem pela metade e a curva fica mais larga: em x = 2 está só em 2. Um |a| maior dá uma parábola mais estreita, e um |a| menor, uma mais larga. Foi isso que o laboratório do topo mostrou. Com a = 2 a curva colou no eixo y, com 1/2 ela se abriu, e −1 virou o copo.
- Para f(x) = x², quanto é f(−4)?
- Para y = 3x², quanto vale y quando x = −2?
- Qual parábola tem concavidade para baixo?
- y = −2x² + 1
- y = 2x² − 1
- y = x² − 9
- y = (1/2)x²
- Qual parábola é a mais estreita?
- y = 3x²
- y = x²
- y = (1/2)x²
- y = −(1/3)x²
- Qual é o ponto de corte de y = x² − 4x + 7 com o eixo y? Dê o valor de y.
- Uma parábola tem eixo de simetria x = 3 e passa por (1, 5). Que outro ponto tem de estar nela?
- (5, 5)
- (1, −5)
- (3, 5)
- (−1, 5)
- Qual é o vértice de y = x² + 2?
- (0, 2)
- (2, 0)
- (0, −2)
- (−2, 0)
- Qual destas é uma função quadrática?
- y = 5 − x²
- y = 4x − 3
- y = 7
- y = 2/x
- Qual é o valor máximo de y = −x² + 4?
- Em y = x² − 1, quanto vale y em x = −2? (É o mesmo valor de x = 2.)
| Parábola | O gráfico em forma de U de uma função quadrática |
| Vértice | O ponto de virada: o mais baixo se a > 0, o mais alto se a < 0 |
| Eixo de simetria | A reta vertical que passa pelo vértice |
| Ponto de corte de ax² + bx + c com o eixo y | (0, c) |
- Escrever −3² = −9 para o ponto em x = −3 de y = x². −3² quer dizer −(3²). A entrada é o número inteiro −3, então você precisa de (−3)² = 9, e o ponto é (−3, 9). Ponha parênteses em volta de uma entrada negativa antes de elevá-la ao quadrado.
- Dizer que y = −2x² é mais larga que y = x² porque −2 é menor que 1. A largura depende de |a|, não de a. |−2| = 2 é maior que 1, então y = −2x² é a mais estreita. O sinal de menos só a vira de cabeça para baixo.
- Ler o ponto de corte de y = (x − 1)² − 2 com o eixo y como −2. c é o ponto de corte com o eixo y só quando a função está escrita como ax² + bx + c. Aqui, ponha x = 0: (0 − 1)² − 2 = 1 − 2 = −1, então a curva cruza o eixo y em (0, −1), como na figura.
- f(x) = ax² + bx + c com a ≠ 0 é uma função quadrática; seu gráfico é uma parábola.
- a > 0: concavidade para cima; a < 0: para baixo; |a| maior, mais estreita.
- O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto; o eixo de simetria passa por ele.
- O ponto de corte com o eixo y é (0, c).
Fontes deste curso (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Data de verificação: 2026-10-18