De parabool
Kwadrateer −3 tot 3: je krijgt 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. De punten vormen een U, een parabool.
Zet a op 2, dan 1/2, dan −1
Begin met het lab, niet met definities. Je ziet y = x² naast een vaste gestreepte kopie. Zet a op 2: de kromme wordt smaller en bereikt bij x = 2 al 8. Probeer 1/2 en daarna −1. De ene maakt de kom breder, de andere keert haar om. Onthoud die drie beelden; hieronder ontdek je waarom.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
Waarom −2 en 2 even hoog uitkomen
Een vergelijking met x alleen tot de eerste macht geeft een rechte lijn. Met x² wordt de grafiek gebogen. Neem y = x² en maak een tabel: x = −3 geeft 9, −2 geeft 4, −1 geeft 1, 0 geeft 0. Bij x = 1, 2 en 3 komen dezelfde uitkomsten omgekeerd terug. Verschillende invoer, zoals −2 en 2, geeft dezelfde uitvoer omdat een negatief getal gekwadrateerd positief is. Verbind vloeiend: een U met laagste punt in de oorsprong, steeds steiler aan beide kanten.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Een functie die je kunt schrijven als f(x) = ax² + bx + c, met a ongelijk aan 0, heet een kwadratische functie. OpenStax noemt dit de algemene vorm. Haar grafiek is altijd een parabool. Als a gelijk was aan 0, verdween de term x² en hield je een rechte lijn over. Daarom is die voorwaarde belangrijk. De getallen b en c mogen wel nul zijn: y = x², y = 3x² − 5 en y = −x² + 4x zijn allemaal kwadratische functies. Vul je x = 0 in, dan blijft alleen c over. c is dus het snijpunt met de y-as: de plaats waar de parabool die as kruist.
Vouw langs x = 1: de helften passen op elkaar
Elke parabool heeft één keerpunt, de top. Opent de parabool naar boven, dan is de top het laagste punt en zijn y-coördinaat de minimumwaarde van de functie. Opent zij naar beneden, dan is de top het hoogste punt en geeft hij de maximumwaarde. Door de top loopt een verticale lijn: de symmetrieas. Vouw de grafiek langs die lijn en beide helften vallen op elkaar. Dat bespaart werk. Ken je één punt op de kromme, dan krijg je gratis een tweede door het in die as te spiegelen. Een basketbalworp van opzij volgt ongeveer dezelfde boog. Het hoogste punt daarvan is de top.
Waarom a = 2 smal is en a = −1 omgekeerd
Het teken van a bepaalt de richting. Bij a > 0 opent de parabool naar boven, als een kom. Bij a < 0 opent zij naar beneden, als een omgekeerde kom. De grootte van a bepaalt de breedte. Bij y = 2x² is elke uitvoer tweemaal die van y = x². De kromme stijgt dus tweemaal zo snel en lijkt smaller: bij x = 2 staat zij al op 8. Bij y = (1/2)x² worden de uitvoerwaarden gehalveerd en is de kromme breder: bij x = 2 staat zij pas op 2. Een grotere |a| betekent een smallere parabool, een kleinere |a| een bredere. Dat liet het practicum bovenaan zien. Bij a = 2 lag de kromme dicht tegen de y-as, bij 1/2 spreidde zij zich uit en −1 keerde de kom om.
- Voor f(x) = x², wat is f(−4)?
- Bij y = 3x², wat is y voor x = −2?
- Welke parabool opent omlaag?
- y = −2x² + 1
- y = 2x² − 1
- y = x² − 9
- y = (1/2)x²
- Welke parabool is het smalst?
- y = 3x²
- y = x²
- y = (1/2)x²
- y = −(1/3)x²
- Wat is het y-assnijpunt van y = x² − 4x + 7? Geef de y-waarde.
- Een parabool heeft symmetrieas x = 3 en gaat door (1, 5). Welk ander punt ligt erop?
- (5, 5)
- (1, −5)
- (3, 5)
- (−1, 5)
- Wat is de top van y = x² + 2?
- (0, 2)
- (2, 0)
- (0, −2)
- (−2, 0)
- Welke is een kwadratische functie?
- y = 5 − x²
- y = 4x − 3
- y = 7
- y = 2/x
- Wat is het maximum van y = −x² + 4?
- Bij y = x² − 1, wat is y voor x = −2? (Gelijk aan de waarde bij x = 2.)
| Parabool | De U-vormige grafiek van een kwadratische functie |
| Top | Het keerpunt: laagste bij a > 0, hoogste bij a < 0 |
| Symmetrieas | De verticale lijn door de top |
| y-assnijpunt van ax² + bx + c | (0, c) |
- −3² = −9 schrijven voor het punt x = −3 op y = x². −3² betekent −(3²). De invoer is het hele getal −3: je hebt (−3)² = 9 nodig en punt (−3, 9). Zet negatieve invoer tussen haakjes vóór kwadrateren.
- y = −2x² breder noemen dan y = x² omdat −2 kleiner is dan 1. Breedte hangt af van |a|, niet a. |−2| = 2 is groter dan 1: y = −2x² is smaller. Het minteken draait alleen om.
- Het y-assnijpunt van y = (x − 1)² − 2 lezen als −2. c is alleen het snijpunt met de y-as als de functie als ax² + bx + c is geschreven. Vul hier in plaats daarvan x = 0 in: (0 − 1)² − 2 = 1 − 2 = −1. De kromme kruist de y-as dus in (0, −1), zoals in de figuur.
- f(x) = ax² + bx + c met a ≠ 0 is kwadratisch; de grafiek is een parabool.
- a > 0 opent omhoog, a < 0 omlaag; grotere |a| is smaller.
- De top is het laagste of hoogste punt; de symmetrieas gaat erdoor.
- Het y-assnijpunt is (0, c).
Bronnen van deze cursus (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Geraadpleegd: 2026-10-18