La parabola
Eleva al quadrato i numeri da −3 a 3 e ottieni 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. Riportati sul piano, disegnano una curva a U chiamata parabola.
Imposta a su 2, poi su 1/2, poi su −1
Parti dal laboratorio, non dalle definizioni. Mostra y = x² accanto a una copia tratteggiata che resta ferma. Imposta a su 2. La curva si restringe e per x = 2 arriva già a 8. Ora prova 1/2. Poi −1. Uno allarga la coppa; l'altro la capovolge. Tieni a mente queste tre immagini: tutto ciò che segue le spiega.
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Perché −2 e 2 arrivano alla stessa altezza
Le rette derivano da equazioni in cui x compare solo alla prima potenza. Inserisci x² nell'equazione e il grafico si incurva. Il caso più semplice è y = x². Costruisci una tabella: x = −3 dà 9, x = −2 dà 4, x = −1 dà 1, x = 0 dà 0; poi gli stessi risultati ricompaiono in ordine inverso per x = 1, 2 e 3. Due ingressi diversi, come −2 e 2, hanno lo stesso risultato, perché il quadrato di un numero negativo è positivo. Unisci i punti con una curva regolare: ottieni una U con il punto più basso nell'origine, che sale sempre più rapidamente da entrambi i lati.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Una funzione scrivibile come f(x) = ax² + bx + c, con a diverso da 0, è una funzione quadratica; OpenStax chiama questa scrittura forma generale. Il suo grafico è sempre una parabola. Se a fosse 0, il termine x² sparirebbe e si tornerebbe a una retta: ecco perché la condizione conta. I numeri b e c possono essere zero: y = x², y = 3x² − 5 e y = −x² + 4x sono tutte funzioni quadratiche. Ponendo x = 0 resta soltanto c: c è quindi l'ordinata dell'intersezione con l'asse y.
Piega la curva lungo x = 1 e le due metà coincidono
Ogni parabola ha un punto in cui cambia verso, il vertice. Quando la concavità è verso l'alto, il vertice è il punto più basso e la sua ordinata è il valore minimo della funzione. Quando la concavità è verso il basso, il vertice è il punto più alto e dà il valore massimo. Per il vertice passa una retta verticale chiamata asse di simmetria. Piegando il grafico lungo questa retta, le due metà coincidono. Questo risparmia lavoro: noto un punto sulla curva, ne ottieni un secondo riflettendolo rispetto all'asse. Un tiro di basket visto di lato descrive un arco simile, e la sommità dell'arco è il vertice.
Perché a = 2 restringe la curva e a = −1 la capovolge
Il segno di a decide la concavità. Se a > 0 la parabola è rivolta verso l'alto, come una coppa; se a < 0 è rivolta verso il basso, come una coppa capovolta. Il valore assoluto di a determina la larghezza. Con y = 2x² ogni risultato è il doppio di quello di y = x²: la curva sale due volte più rapidamente e appare più stretta; per x = 2 arriva già a 8. Con y = (1/2)x² i risultati si dimezzano e la curva è più larga: per x = 2 arriva solo a 2. Un |a| maggiore dà una parabola più stretta; uno minore, una più larga. È ciò che mostrava il laboratorio: con a = 2 la curva si stringeva all'asse y, con 1/2 si allargava e con −1 la coppa si capovolgeva.
- Per f(x) = x², quanto vale f(−4)?
- Per y = 3x², quanto vale y quando x = −2?
- Quale parabola ha la concavità verso il basso?
- y = −2x² + 1
- y = 2x² − 1
- y = x² − 9
- y = (1/2)x²
- Quale parabola è la più stretta?
- y = 3x²
- y = x²
- y = (1/2)x²
- y = −(1/3)x²
- Qual è l'intersezione con l'asse y di y = x² − 4x + 7? Indica il valore di y.
- Una parabola ha asse di simmetria x = 3 e passa per (1, 5). Quale altro punto le appartiene sicuramente?
- (5, 5)
- (1, −5)
- (3, 5)
- (−1, 5)
- Qual è il vertice di y = x² + 2?
- (0, 2)
- (2, 0)
- (0, −2)
- (−2, 0)
- Quale di queste è una funzione quadratica?
- y = 5 − x²
- y = 4x − 3
- y = 7
- y = 2/x
- Qual è il valore massimo di y = −x² + 4?
- Su y = x² − 1, quanto vale y per x = −2? (Coincide con il valore per x = 2.)
| Parabola | Il grafico a U di una funzione quadratica |
| Vertice | Il punto in cui la curva cambia verso: il più basso se a > 0, il più alto se a < 0 |
| Asse di simmetria | La retta verticale che passa per il vertice |
| Intersezione di ax² + bx + c con l'asse y | (0, c) |
- Scrivere −3² = −9 per il punto con x = −3 su y = x². −3² significa −(3²). Il valore in ingresso è l'intero numero −3, quindi serve (−3)² = 9 e il punto è (−3, 9). Metti tra parentesi un valore negativo prima di elevarlo al quadrato.
- Dire che y = −2x² è più larga di y = x² perché −2 è minore di 1. La larghezza dipende da |a|, non da a. |−2| = 2 è maggiore di 1, quindi y = −2x² è la più stretta. Il segno meno la capovolge soltanto.
- Leggere −2 come intersezione con l'asse y di y = (x − 1)² − 2. c è l'ordinata dell'intersezione con l'asse y solo quando la funzione è scritta come ax² + bx + c. Qui poni invece x = 0: (0 − 1)² − 2 = 1 − 2 = −1, quindi la curva incontra l'asse y in (0, −1), come nella figura.
- f(x) = ax² + bx + c con a ≠ 0 è una funzione quadratica; il suo grafico è una parabola.
- a > 0 dà concavità verso l'alto, a < 0 verso il basso; un |a| maggiore dà una curva più stretta.
- Il vertice è il punto più basso o più alto; l'asse di simmetria passa per esso.
- L'intersezione con l'asse y è (0, c).
Fonti di questo corso (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
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- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Consultato il: 2026-10-18