Парабола
Возведи в квадрат числа от −3 до 3 и получишь 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. На графике они образуют U-образную кривую, называемую параболой.
Установи a равным 2, затем 1/2, затем −1
Начни с лаборатории, а не с определений. Здесь показан график y = x² и его неподвижная пунктирная копия. Установи a равным 2. Кривая становится уже, а при x = 2 уже достигает 8. Теперь попробуй 1/2. Затем −1. Один коэффициент расширяет чашу, другой переворачивает её. Запомни эти три картинки: дальше мы объясним каждую.
Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.
Почему при −2 и 2 высота одинакова
Прямые задаются уравнениями, в которых x встречается только в первой степени. Добавь x², и график изогнётся. Простейший случай: y = x². Составим таблицу: x = −3 даёт 9, x = −2 даёт 4, x = −1 даёт 1, x = 0 даёт 0. Затем те же значения идут в обратном порядке при x = 1, 2 и 3. Два разных аргумента, например −2 и 2, дают одно значение, потому что квадрат отрицательного числа положителен. Соедини точки плавной кривой: получится U с нижней точкой в начале координат, всё быстрее поднимающаяся с обеих сторон.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Функция вида f(x) = ax² + bx + c, где a не равно 0, называется квадратичной. OpenStax называет эту запись общим видом. Её график всегда парабола. При a = 0 член с x² исчез бы и получилась бы прямая, поэтому условие важно. Числа b и c могут быть нулевыми: y = x², y = 3x² − 5 и y = −x² + 4x являются квадратичными функциями. При x = 0 остаётся только c, поэтому c задаёт пересечение с осью y.
Если сложить график по x = 1, половины совпадут
У каждой параболы есть одна точка поворота, вершина. Если ветви направлены вверх, вершина является нижней точкой, а её координата y даёт наименьшее значение функции. Если ветви направлены вниз, вершина является верхней точкой и задаёт наибольшее значение. Через вершину проходит вертикальная прямая, называемая осью симметрии. Если сложить график по ней, половины совпадут. Это экономит работу: зная одну точку кривой, вторую получаешь отражением относительно оси. Траектория баскетбольного броска сбоку близка к такой дуге, а её верхняя точка является вершиной.
Почему a = 2 сужает параболу, а a = −1 переворачивает
Знак a определяет направление ветвей. При a > 0 они направлены вверх, как чаша; при a < 0 вниз, как перевёрнутая чаша. Модуль a определяет ширину. Для y = 2x² каждое значение вдвое больше, чем для y = x², поэтому кривая поднимается вдвое быстрее и выглядит уже: при x = 2 она уже на высоте 8. Для y = (1/2)x² значения вдвое меньше и кривая шире: при x = 2 высота лишь 2. Чем больше |a|, тем уже парабола; чем меньше |a|, тем шире. Это и показала лаборатория в начале. При a = 2 кривая прижалась к оси y, при 1/2 расширилась, а при −1 чаша перевернулась.
- Для f(x) = x² чему равно f(−4)?
- Для y = 3x² чему равно y при x = −2?
- У какой параболы ветви направлены вниз?
- y = −2x² + 1
- y = 2x² − 1
- y = x² − 9
- y = (1/2)x²
- Какая парабола самая узкая?
- y = 3x²
- y = x²
- y = (1/2)x²
- y = −(1/3)x²
- Где y = x² − 4x + 7 пересекает ось y? Укажи значение y.
- Ось симметрии параболы x = 3, и она проходит через (1, 5). Какая ещё точка обязательно ей принадлежит?
- (5, 5)
- (1, −5)
- (3, 5)
- (−1, 5)
- Где вершина y = x² + 2?
- (0, 2)
- (2, 0)
- (0, −2)
- (−2, 0)
- Какая из функций квадратичная?
- y = 5 − x²
- y = 4x − 3
- y = 7
- y = 2/x
- Каково наибольшее значение y = −x² + 4?
- Для y = x² − 1 чему равно y при x = −2? (Оно совпадает со значением при x = 2.)
| Парабола | U-образный график квадратичной функции |
| Вершина | Точка поворота: нижняя при a > 0, верхняя при a < 0 |
| Ось симметрии | Вертикальная прямая через вершину |
| Пересечение ax² + bx + c с осью y | (0, c) |
- Для точки x = −3 графика y = x² записали −3² = −9. −3² означает −(3²). Аргументом служит всё число −3, поэтому нужно (−3)² = 9, а точка имеет координаты (−3, 9). Перед возведением отрицательного аргумента в квадрат заключай его в скобки.
- y = −2x² назвали более широкой, чем y = x², потому что −2 меньше 1. Ширина зависит от |a|, а не от a. |−2| = 2 больше 1, поэтому y = −2x² уже. Минус лишь переворачивает параболу.
- Для y = (x − 1)² − 2 пересечение с осью y приняли за −2. Число c задаёт пересечение с осью y только в записи ax² + bx + c. Здесь подставь x = 0: (0 − 1)² − 2 = 1 − 2 = −1. Значит, кривая пересекает ось y в (0, −1), как на рисунке.
- f(x) = ax² + bx + c при a ≠ 0 является квадратичной функцией; её график парабола.
- При a > 0 ветви вверх, при a < 0 вниз; чем больше |a|, тем уже парабола.
- Вершина является нижней или верхней точкой; ось симметрии проходит через неё.
- Точка пересечения с осью y имеет координаты (0, c).
Источники курса (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Проверено: 2026-10-18