Брошенный мяч

Мяч, брошенный вверх со скоростью 80 футов в секунду с крыши высотой 40 футов, достигает 140 футов через 2.5 секунды и падает на землю примерно через 5.46 секунды.

Когда мяч выше всего и когда он упадёт?

Сначала два вопроса; возьми карандаш, если он под рукой. Мяч брошен вертикально вверх с крыши высотой 40 футов со скоростью 80 футов в секунду. Через t секунд его высота H(t) = −16t² + 80t + 40. Когда он выше всего? Когда коснётся земли? Оба ответа используют инструменты предыдущих уроков. Один связан с вершиной, другой с корнем по формуле квадратного уравнения. Запиши ответы и сравни с решением ниже.

Что означают −16, 80 и 40

OpenStax приводит такой пример: мяч бросают вверх с крыши здания высотой 40 футов со скоростью 80 футов в секунду. Высота над землёй через t секунд описывается моделью H(t) = −16t² + 80t + 40. У каждого члена есть смысл. Постоянная 40 является начальной высотой, поскольку при t = 0 остаётся только 40. Член 80t показывает, как высоко мяч поднялся бы при сохранении начальной скорости. Член −16t² описывает действие тяжести, возвращающее мяч вниз, и растёт быстрее 80t. Поэтому мяч в конце концов меняет направление и падает.

Откуда 16? У земли тяжесть увеличивает скорость падающего тела примерно на 32 фута в секунду каждую секунду; стандартное значение 9.80665 м/с², примерно 32.174 фут/с². Пройденное при падении расстояние равно половине этого значения, умноженной на t², а половина 32 равна 16. В метрах та же модель выглядит как h(t) = −4.9t² + vt + h₀. Она не учитывает сопротивление воздуха, что разумно для тяжёлого мяча за несколько секунд, но не для пера.

Верхняя точка: 140 футов через 2.5 секунды

H(t) является квадратичной функцией с a = −16, поэтому ветви направлены вниз, а вершина является верхней точкой. Время вершины t = −b/(2a) = −80/(2 × (−16)) = 80/32 = 2.5 секунды. Высота там H(2.5) = −16(6.25) + 80(2.5) + 40 = −100 + 200 + 40 = 140 футов. Значит, мяч поднимается две с половиной секунды, достигает 140 футов и опускается. Заметь: формула вершины отвечает на физический вопрос, когда мяч перестаёт подниматься.

Падение на землю примерно через 5.46 секунды

Мяч касается земли при H(t) = 0, то есть −16t² + 80t + 40 = 0. Удобного разложения нет, поэтому используем формулу: t = (−80 ± √(80² − 4(−16)(40))) / (2(−16)) = (−80 ± √8960) / (−32). Два ответа: примерно 5.458 и −0.458. Отрицательное время означало бы момент до броска, за пределами описываемой ситуации, поэтому мяч падает примерно через 5.458 секунды. Дискриминант 8960 положителен, что согласуется с пересечением графиком оси времени.

Та же вершина в задачах об ограде и цене

Идея вершины решает и задачи без мяча. В другом примере OpenStax у садовника есть 80 футов ограды для трёх сторон прямоугольника, а четвёртой служит существующий забор. Если каждая перпендикулярная забору сторона имеет длину L, длинная сторона равна 80 − 2L, а площадь A(L) = L(80 − 2L) = 80L − 2L². Вершина при L = −80/(2 × (−2)) = 20, поэтому лучший участок имеет размеры 20 на 40 футов и площадь 800 квадратных футов. В том же разделе модель выручки газеты достигает максимума при цене подписки $31.80.