Ein geworfener Ball

Ein Ball wird von einem 40 Fuß hohen Dach mit 80 Fuß pro Sekunde nach oben geworfen. Nach 2.5 Sekunden erreicht er 140 Fuß und landet nach etwa 5.46 Sekunden.

Wann ist der Ball am höchsten und wann landet er?

Zuerst zwei Fragen, gern mit Stift: Ein Ball wird von einem 40 Fuß hohen Dach mit 80 Fuß pro Sekunde senkrecht nach oben geworfen. Nach t Sekunden hat er die Höhe H(t) = −16t² + 80t + 40. Wann ist er am höchsten? Wann trifft er den Boden? Beide Antworten nutzen Werkzeuge aus früheren Einheiten. Die eine ist ein Scheitelpunkt, die andere eine Lösung der Mitternachtsformel. Notiere deine Antworten und vergleiche sie mit dem Rechenweg unten.

Was −16, 80 und 40 bedeuten

OpenStax verwendet dieses Beispiel: Ein Ball wird vom Dach eines 40 Fuß hohen Gebäudes mit 80 Fuß pro Sekunde nach oben geworfen. Seine Höhe über dem Boden nach t Sekunden wird durch H(t) = −16t² + 80t + 40 beschrieben. Jeder Term hat eine Bedeutung. Die Konstante 40 ist die Anfangshöhe, denn bei t = 0 bleibt nur 40. Der Term 80t beschreibt die Höhe bei unveränderter Anfangsgeschwindigkeit. −16t² beschreibt die Schwerkraft, die den Ball zurückzieht. Dieser Term wächst schneller als 80t, weshalb der Ball irgendwann umkehrt und fällt.

Woher kommt die 16? Nahe dem Boden erhöht die Schwerkraft die Fallgeschwindigkeit jede Sekunde um etwa 32 Fuß pro Sekunde. Der Standardwert beträgt 9.80665 m/s², ungefähr 32.174 ft/s². Die Fallstrecke ist die Hälfte davon mal t², und die Hälfte von 32 ist 16. In Metern lautet dasselbe Modell h(t) = −4.9t² + vt + h₀. Es vernachlässigt den Luftwiderstand. Für einen schweren Ball über wenige Sekunden ist das sinnvoll, für eine Feder nicht.

Der höchste Punkt: 140 Fuß nach 2.5 Sekunden

H(t) ist quadratisch mit a = −16. Der Graph ist nach unten geöffnet, der Scheitelpunkt also der höchste Punkt. Dessen Zeitpunkt ist t = −b/(2a) = −80/(2 × (−16)) = 80/32 = 2.5 Sekunden. Die Höhe dort ist H(2.5) = −16(6.25) + 80(2.5) + 40 = −100 + 200 + 40 = 140 Fuß. Der Ball steigt also zweieinhalb Sekunden lang, erreicht 140 Fuß und fällt dann. Die Scheitelpunktformel beantwortet hier eine physikalische Frage: Wann hört der Ball auf zu steigen?

Landung nach ungefähr 5.46 Sekunden

Der Ball trifft den Boden bei H(t) = 0, also −16t² + 80t + 40 = 0. Das lässt sich nicht einfach faktorisieren. Verwende die Formel: t = (−80 ± √(80² − 4(−16)(40))) / (2(−16)) = (−80 ± √8960) / (−32). Die Ergebnisse sind ungefähr 5.458 und −0.458. Eine negative Zeit läge vor dem Wurf und außerhalb der beschriebenen Situation. Also landet der Ball nach etwa 5.458 Sekunden. Die Diskriminante 8960 ist positiv. Dazu passt, dass der Graph die Zeitachse schneidet.

Derselbe Scheitelpunktschritt für Zaun und Preis

Die Scheitelpunktidee löst auch Aufgaben ohne Ball. In einem weiteren OpenStax-Beispiel hat eine Gärtnerin 80 Fuß Zaun für drei Seiten eines Rechtecks. Der vorhandene Gartenzaun bildet die vierte Seite. Heißen die beiden senkrecht dazu stehenden Seiten L, ist die lange Seite 80 − 2L und die Fläche A(L) = L(80 − 2L) = 80L − 2L². Der Scheitelpunkt liegt bei L = −80/(2 × (−2)) = 20. Optimal sind also 20 Fuß mal 40 Fuß mit einer Fläche von 800 Quadratfuß. Ein Einnahmenmodell für eine Zeitung im selben Abschnitt hat sein Maximum bei $31.80 pro Abonnement.