Uma bola lançada

Uma bola lançada para cima a 80 pés por segundo de um telhado de 40 pés chega a 140 pés depois de 2.5 segundos e cai no chão depois de cerca de 5.46 segundos.

Quando a bola está mais alta, e quando ela cai?

Primeiro, duas perguntas, com lápis se você tiver um. Uma bola lançada verticalmente para cima de um telhado de 40 pés a 80 pés por segundo tem altura H(t) = −16t² + 80t + 40 depois de t segundos. Quando ela está mais alta? Quando bate no chão? As duas respostas usam ferramentas das unidades anteriores. Uma é um vértice. A outra é uma raiz pela fórmula resolutiva. Anote suas respostas e compare com a resolução abaixo.

O que significam o −16, o 80 e o 40

O OpenStax usa este exemplo: uma bola é lançada para cima do alto de um prédio de 40 pés a uma velocidade de 80 pés por segundo, e sua altura acima do chão depois de t segundos é modelada por H(t) = −16t² + 80t + 40. Cada termo tem um significado. A constante 40 é a altura inicial, porque em t = 0 só sobra 40. O termo 80t é quanto a bola subiria se mantivesse a velocidade inicial. O termo −16t² é a gravidade puxando-a de volta, e ele cresce mais rápido que 80t; é por isso que a bola acaba virando e caindo.

De onde vem o 16? Perto do chão, a gravidade acelera um objeto em queda em cerca de 32 pés por segundo a cada segundo; o valor padrão é 9.80665 m/s², cerca de 32.174 ft/s². A distância de queda é a metade disso vezes t², e a metade de 32 é 16. Em metros, o mesmo modelo fica h(t) = −4.9t² + vt + h₀. O modelo ignora a resistência do ar, o que é razoável para uma bola pesada durante poucos segundos, mas não para uma pena.

O topo: 140 pés em 2.5 segundos

H(t) é uma função quadrática com a = −16, então seu gráfico tem concavidade para baixo e o vértice é o ponto mais alto. O instante do vértice é t = −b/(2a) = −80/(2 × (−16)) = 80/32 = 2.5 segundos. A altura ali é H(2.5) = −16(6.25) + 80(2.5) + 40 = −100 + 200 + 40 = 140 pés. Então a bola sobe durante dois segundos e meio, atinge 140 pés e depois desce. Repare que a fórmula do vértice responde aqui a uma pergunta física: quando a bola para de subir?

A queda depois de cerca de 5.46 segundos

A bola bate no chão quando H(t) = 0, isto é, −16t² + 80t + 40 = 0. Isso não se fatora de forma simples, então use a fórmula: t = (−80 ± √(80² − 4(−16)(40))) / (2(−16)) = (−80 ± √8960) / (−32). As duas respostas são cerca de 5.458 e cerca de −0.458. Um tempo negativo seria antes do lançamento, fora da situação que o modelo descreve, então a bola cai no chão depois de cerca de 5.458 segundos. O discriminante, 8960, é positivo, o que combina com o fato de o gráfico cruzar o eixo do tempo.

O mesmo passo do vértice para uma cerca e um preço

A mesma ideia do vértice resolve problemas sem bola nenhuma. Em outro exemplo do OpenStax, um jardineiro tem 80 pés de cerca para três lados de um retângulo, e a cerca do quintal faz o quarto lado. Se cada lado perpendicular à cerca existente mede L, o lado comprido mede 80 − 2L e a área é A(L) = L(80 − 2L) = 80L − 2L². O vértice está em L = −80/(2 × (−2)) = 20, então o melhor jardim tem 20 pés por 40 pés, com área de 800 pés quadrados. Um modelo de receita de um jornal na mesma seção atinge o máximo com o preço de $31.80 por assinatura.