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Início›Álgebra›Funções quadráticas

A fórmula resolutiva

Al-Khwarizmi resolveu x² + 10x = 39 por volta do ano 800 completando um quadrado. A fórmula resolutiva (no Brasil, fórmula de Bhaskara) são os mesmos passos feitos de uma vez para todos os a, b e c.

Um quadrado desenhado por volta de 800

ContextoO MacTutor observa que muitas vezes se diz que os babilônios, por volta de 1800 a.C., resolviam equações do segundo grau, mas eles não tinham a ideia de equação. O que tinham era uma receita passo a passo para problemas que hoje escreveríamos como equações quadráticas, e a receita é, no fundo, completar quadrados, com respostas sempre positivas porque em geral eram comprimentos. Brahmagupta (598 a 665) deu um método quase moderno que admitia quantidades negativas. Al-Khwarizmi, escrevendo por volta de 800 sem zero nem números negativos, separou as equações quadráticas em seis tipos, deu uma regra para cada um com um exemplo numérico como x² + 10x = 39 e provou cada regra completando um quadrado geometricamente, mais ou menos como na figura abaixo. Em 1145, o Liber embadorum de Abraão bar Hiyya se tornou o primeiro livro publicado na Europa a dar a solução completa.

Some 25 e x² + 10x vira um quadrado

Muitas equações quadráticas não se fatoram com números inteiros. O método que sempre funciona é completar quadrados. Comece com x² + 10x = 39. O primeiro membro é quase um quadrado perfeito: (x + 5)² = x² + 10x + 25, então falta 25. Some 25 aos dois membros para manter a igualdade: x² + 10x + 25 = 64. Agora o primeiro membro é (x + 5)², então (x + 5)² = 64. Tire a raiz quadrada: x + 5 = 8 ou x + 5 = −8, o que dá x = 3 ou x = −13. O número a somar é sempre o quadrado da metade do coeficiente de x.

A figura geométrica: um quadrado de lado x e duas faixas de 5 por x formam x² + 10x. Acrescentar o cantinho de 5 por 5 completa um quadrado de lado x + 5 e área 39 + 25 = 64.

Os mesmos passos com letras dão a fórmula

Faça os mesmos passos com letras. Parta de ax² + bx + c = 0, divida por a, passe c/a para o outro membro, some (b/(2a))² aos dois membros e tire a raiz quadrada. O resultado é a fórmula resolutiva: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). O sinal ± indica duas respostas, uma com mais e outra com menos. Para usá-la, escreva primeiro a equação na forma padrão, para ler a, b e c com seus sinais. Cuidado com b. Em x² − 2x − 3 = 0, b = −2, então −b = 2.

Exemplo resolvido: x² − 2x − 3 = 0 tem a = 1, b = −2, c = −3. Então b² − 4ac = 4 + 12 = 16 e √16 = 4, logo x = (2 ± 4)/2, que dá 3 ou −1. A fatoração dá o mesmo resultado, (x − 3)(x + 1) = 0. Agora tente 2x² + 3x − 1 = 0, que não se fatora de forma simples: b² − 4ac = 9 + 8 = 17, então x = (−3 ± √17)/4. Em decimais, x ≈ 0.281 ou x ≈ −1.781. A fórmula entrega respostas exatas com raiz quadrada, e uma calculadora as transforma em decimais quando você precisa.

Que método escolher? Se a equação não tem termo em x, como 5x² = 20, isole x² e tire a raiz quadrada: x² = 4, x = ±2. Se ela se fatora rápido, fatore. Senão, use a fórmula, que nunca falha. No laboratório, ponha a, b e c de qualquer equação e o painel os substitui na fórmula passo a passo; os pontos verdes no eixo x são as soluções.

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y = 2x² + 3x − 1. Seus zeros são as soluções de 2x² + 3x − 1 = 0, cerca de 0.281 e −1.781. Mude a, b e c para resolver outras equações.
  1. Qual é a maior solução de x² − 2x − 3 = 0?
  2. Em 3x² − 5x + 2 = 0, quanto vale b?
  3. Qual é a solução positiva de x² + 10x = 39?
  4. Qual é a maior solução de 2x² + 3x − 1 = 0, com duas casas decimais?
  5. Qual é a maior solução de x² + 4x + 1 = 0, com duas casas decimais?
  6. Que número completa o quadrado de x² + 6x?
  7. Resolva x² − 6x + 9 = 0.
  8. Qual é a solução positiva de 5x² = 20?
  9. Na fórmula resolutiva, o que fica dentro da raiz quadrada?
    • b² − 4ac
    • b² + 4ac
    • 4ac − b²
    • 2a
  10. Qual é a menor solução de 2x² − 7x + 3 = 0? Escreva-a como fração.
Fórmula resolutivax = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Completar o quadrado de x² + bxSome (b/2)²
Propriedade da raiz quadradaSe x² = k, então x = ±√k
O exemplo de Al-Khwarizmix² + 10x = 39, x = 3
Erros comuns
  • Em x² − 4x − 5 = 0, pôr −b = −4 na fórmula e obter 1 e −5. b é −4, então −b é +4. Aí b² − 4ac = 16 + 20 = 36 e x = (4 ± 6)/2, que dá 5 ou −1. Substitua 5 de volta: 25 − 20 − 5 = 0.
  • Dividir só a raiz quadrada por 2a: x = −b ± √(b² − 4ac)/(2a). O traço de fração fica embaixo de todo o numerador, −b incluído. Para 2x² + 4x − 6 = 0, b² − 4ac = 16 + 48 = 64, então x = (−4 ± 8)/4 = 1 ou −3. Dividir só o 8 dá −4 ± 2, ou seja, −2 ou −6, e nenhum dos dois satisfaz a equação.
  • Resolver (x + 2)² = 9 como x + 2 = 3, então x = 1 e mais nada. Tanto 3 quanto −3 ao quadrado dão 9. x + 2 = ±3 dá x = 1 ou x = −5. Confira a segunda: (−5 + 2)² = (−3)² = 9.
Nota do professorDeduza a fórmula uma vez a partir de completar quadrados, diante da turma, e só depois deixe os alunos a usarem à vontade. Quem viu a dedução sabe por que 2a fica embaixo de todo o numerador. Depois de cada resposta pela fórmula, peça a conferência por substituição. Um sinal de menos perdido aparece na hora.
Pontos-chave
  • Completar quadrados: some (b/2)² a x² + bx.
  • Fórmula resolutiva: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
  • Leia a, b e c com seus sinais na forma padrão.
  • Sem termo em x: raiz quadrada. Fatores fáceis: fatore. Nos outros casos: a fórmula.
Fontes deste curso (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

Data de verificação: 2026-10-18