Forma canônica

f(x) = 2x² + 4x − 4 e f(x) = 2(x + 1)² − 6 são a mesma função, mas só a segunda mostra o vértice (−1, −6) de relance.

Onde fica o ponto mais baixo de 2x² + 4x − 4?

Tente antes de continuar a leitura. Onde fica o ponto mais baixo de f(x) = 2x² + 4x − 4? Uma tabela chega lá, devagar. f(0) = −4, f(−1) = −6 e f(−2) = −4. Os dois −4 estão à mesma distância de x = −1, então o fundo está em x = −1 e o mínimo é −6. Foram três cálculos e um bom palpite. Escrita como 2(x + 1)² − 6, a mesma função mostra (−1, −6) sem tabela nenhuma.

Por que o vértice de a(x − h)² + k é (h, k)

Uma função quadrática também pode ser escrita como f(x) = a(x − h)² + k. O OpenStax chama isso de forma padrão e, como o vértice aparece nela diretamente, ela também é chamada de forma canônica (forma do vértice). O vértice é o ponto (h, k). O motivo é curto: (x − h)² é um quadrado, então nunca é negativo, e vale 0 exatamente quando x = h. Se a > 0, o menor valor possível de a(x − h)² é 0, então o menor valor de f é k, atingido em x = h. Se a < 0, o mesmo argumento dá o maior valor.

Cuidado com o sinal dentro dos parênteses. Em f(x) = (x − 3)² + 2 o vértice é (3, 2), com 3 positivo. Em f(x) = −3(x + 2)² + 4, que o OpenStax usa como exemplo, x + 2 é o mesmo que x − (−2), então h = −2 e o vértice é (−2, 4). Como a = −3 é negativo, a concavidade é para baixo, 4 é o valor máximo e a imagem é o conjunto dos y com y ≤ 4. O eixo de simetria é a reta vertical x = h, aqui x = −2.

Primeiro h = −b/(2a), depois k = f(h)

Quando a função é dada como ax² + bx + c, há um jeito rápido de achar o vértice. O eixo de simetria é x = −b/(2a), então esse é o h. Depois, k é só a saída em h: k = f(h). Voltando ao problema do início, f(x) = 2x² + 4x − 4. Aqui h = −4/(2 × 2) = −1, e k = f(−1) = 2(1) − 4 − 4 = −6. Mantenha o mesmo a e escreva f(x) = 2(x + 1)² − 6. Desenvolver confirma: 2(x² + 2x + 1) − 6 = 2x² + 4x + 2 − 6 = 2x² + 4x − 4.

Por que −b/(2a)? Desenvolva a(x − h)² + k e você obtém ax² − 2ahx + (ah² + k). Comparar isso com ax² + bx + c termo a termo dá b = −2ah, e isolando h vem h = −b/(2a). A mesma comparação mostra que c = ah² + k. Então as duas formas trazem a mesma informação; uma é cômoda para ler o vértice e a outra para ler o ponto de corte c com o eixo y.

Outro caminho é completar quadrados. Tome x² − 6x + 7. A metade de −6 é −3, e (−3)² = 9. Some e subtraia 9: x² − 6x + 9 − 9 + 7 = (x − 3)² − 2. O vértice é (3, −2). Os dois métodos têm de concordar, e aqui concordam: −b/(2a) = 6/2 = 3 e f(3) = 9 − 18 + 7 = −2.

Deslizando y = x² até o vértice ficar em (h, k)

A forma canônica também diz como desenhar o gráfico a partir de y = x². Pegue a curva base, estique-a por a (e vire-a se a for negativo), desloque-a h unidades para o lado e k unidades para cima ou para baixo. O vértice (0, 0) de y = x² vai parar em (h, k). No laboratório, arraste o vértice vermelho: o painel reescreve a forma canônica e a forma geral ao mesmo tempo, e você vê b e c mudarem enquanto a forma da curva continua a mesma.