Bentuk puncak

f(x) = 2x² + 4x − 4 dan f(x) = 2(x + 1)² − 6 adalah fungsi yang sama, tetapi hanya bentuk kedua yang langsung menunjukkan titik puncak (−1, −6).

Di mana titik terendah 2x² + 4x − 4?

Coba sebelum melanjutkan membaca. Di mana titik terendah f(x) = 2x² + 4x − 4? Tabel bisa menemukannya, tetapi perlahan. f(0) = −4, f(−1) = −6, dan f(−2) = −4. Kedua nilai −4 berjarak sama dari x = −1, sehingga titik terendah berada pada x = −1 dan nilai minimumnya −6. Itu memerlukan tiga perhitungan dan tebakan yang tepat. Jika ditulis 2(x + 1)² − 6, fungsi yang sama langsung menunjukkan (−1, −6) tanpa tabel.

Mengapa titik puncak a(x − h)² + k adalah (h, k)

Fungsi kuadrat juga dapat ditulis sebagai f(x) = a(x − h)² + k. OpenStax menyebutnya bentuk baku, dan karena titik puncaknya langsung terlihat, bentuk ini juga disebut bentuk puncak. Titik puncaknya adalah (h, k). Alasannya singkat: (x − h)² adalah kuadrat, sehingga tidak pernah negatif dan sama dengan 0 tepat saat x = h. Jika a > 0, nilai terkecil a(x − h)² adalah 0. Jadi nilai terkecil f adalah k, yang tercapai saat x = h. Jika a < 0, penalaran yang sama memberikan nilai terbesar.

Perhatikan tanda di dalam kurung. Pada f(x) = (x − 3)² + 2, titik puncaknya (3, 2), dengan 3 positif. Pada f(x) = −3(x + 2)² + 4, contoh yang dipakai OpenStax, x + 2 sama dengan x − (−2). Jadi h = −2 dan titik puncaknya (−2, 4). Karena a = −3 negatif, parabola terbuka ke bawah, 4 adalah nilai maksimum, dan daerah hasilnya semua y dengan y ≤ 4. Sumbu simetrinya garis tegak x = h, di sini x = −2.

Cari h = −b/(2a) dahulu, lalu k = f(h)

Jika fungsi diberikan sebagai ax² + bx + c, ada cara cepat mencari titik puncak. Sumbu simetrinya x = −b/(2a), sehingga itulah h. Lalu k cukup dihitung sebagai keluaran pada h: k = f(h). Kembali ke soal awal, f(x) = 2x² + 4x − 4. Di sini h = −4/(2 × 2) = −1, dan k = f(−1) = 2(1) − 4 − 4 = −6. Pertahankan a yang sama dan tulis f(x) = 2(x + 1)² − 6. Uraikan untuk memastikannya: 2(x² + 2x + 1) − 6 = 2x² + 4x + 2 − 6 = 2x² + 4x − 4.

Mengapa −b/(2a)? Uraikan a(x − h)² + k dan diperoleh ax² − 2ahx + (ah² + k). Cocokkan dengan ax² + bx + c suku demi suku untuk mendapat b = −2ah. Selesaikan untuk h, maka h = −b/(2a). Perbandingan yang sama menunjukkan c = ah² + k. Jadi kedua bentuk memuat informasi yang sama; satu memudahkan pembacaan titik puncak, yang lain memudahkan pembacaan nilai titik potong sumbu y, yaitu c.

Cara lain adalah melengkapkan kuadrat sempurna. Ambil x² − 6x + 7. Setengah dari −6 adalah −3, dan (−3)² = 9. Tambahkan dan kurangkan 9: x² − 6x + 9 − 9 + 7 = (x − 3)² − 2. Titik puncaknya (3, −2). Kedua cara harus menghasilkan jawaban yang sama, dan memang demikian: −b/(2a) = 6/2 = 3 dan f(3) = 9 − 18 + 7 = −2.

Menggeser y = x² hingga titik puncaknya berada di (h, k)

Bentuk puncak juga menunjukkan cara menggambar grafik dari y = x². Ambil kurva induk, regangkan dengan faktor a (dan balik jika a negatif), lalu geser h satuan secara mendatar dan k satuan ke atas atau ke bawah. Titik puncak (0, 0) pada y = x² berpindah ke (h, k). Di laboratorium, seret titik puncak merah: panel memperbarui bentuk puncak dan bentuk umum bersamaan. Kamu dapat mengamati perubahan b dan c sementara bentuk kurva tetap.