Beranda›Aljabar›Persamaan dan fungsi kuadrat

Rumus kuadrat

Al-Khwarizmi menyelesaikan x² + 10x = 39 sekitar tahun 800 dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Rumus kuadrat memakai langkah yang sama, sekali untuk semua a, b, dan c.

Persegi yang digambar sekitar tahun 800

Latar belakangMacTutor mencatat bahwa bangsa Babilonia, sekitar 1800 SM, sering disebut telah menyelesaikan persamaan kuadrat, padahal mereka belum mengenal gagasan persamaan. Mereka memiliki langkah-langkah untuk soal yang kini kita tulis sebagai persamaan kuadrat. Pada dasarnya cara itu melengkapkan kuadrat sempurna, dengan jawaban yang selalu positif karena biasanya berupa ukuran panjang. Brahmagupta (598 sampai 665) memberikan cara yang hampir modern dan menerima besaran negatif. Al-Khwarizmi, yang menulis sekitar tahun 800 tanpa nol atau bilangan negatif, mengelompokkan persamaan kuadrat menjadi enam jenis. Ia memberi aturan beserta contoh angka untuk tiap jenis, seperti x² + 10x = 39, dan membuktikan tiap aturan dengan melengkapkan persegi secara geometris, mirip gambar di bawah. Pada 1145, Liber embadorum karya Abraham bar Hiyya menjadi buku pertama yang diterbitkan di Eropa dengan penyelesaian lengkap.

Tambahkan 25 agar x² + 10x menjadi kuadrat sempurna

Banyak bentuk kuadrat tidak dapat difaktorkan dengan bilangan bulat. Cara yang selalu berhasil ialah melengkapkan kuadrat sempurna. Mulai dari x² + 10x = 39. Ruas kiri hampir berupa kuadrat sempurna: (x + 5)² = x² + 10x + 25, jadi masih kurang 25. Tambahkan 25 pada kedua ruas agar persamaan tetap setara: x² + 10x + 25 = 64. Kini ruas kirinya (x + 5)², sehingga (x + 5)² = 64. Ambil akar kuadrat: x + 5 = 8 atau x + 5 = −8, yang memberi x = 3 atau x = −13. Bilangan yang ditambahkan selalu kuadrat dari setengah koefisien x.

Gambaran geometrisnya: persegi bersisi x dan dua bidang berukuran 5 kali x membentuk x² + 10x. Menambahkan sudut kecil berukuran 5 kali 5 melengkapinya menjadi persegi bersisi x + 5 dengan luas 39 + 25 = 64.

Langkah yang sama dengan huruf menghasilkan rumus

Lakukan langkah yang sama dengan huruf. Mulai dari ax² + bx + c = 0, bagi dengan a, pindahkan c/a ke ruas lain, tambahkan (b/(2a))² pada kedua ruas, lalu ambil akar kuadrat. Hasilnya rumus kuadrat: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Tanda ± berarti dua jawaban, satu dengan tambah dan satu dengan kurang. Untuk memakainya, tulis dahulu persamaan dalam bentuk baku agar a, b, dan c dapat dibaca beserta tandanya. Perhatikan b. Pada x² − 2x − 3 = 0, b = −2, sehingga −b = 2.

Contoh penyelesaian: x² − 2x − 3 = 0 memiliki a = 1, b = −2, c = −3. Maka b² − 4ac = 4 + 12 = 16 dan √16 = 4, sehingga x = (2 ± 4)/2, yaitu 3 atau −1. Pemfaktoran memberi hasil sama, (x − 3)(x + 1) = 0. Sekarang coba 2x² + 3x − 1 = 0, yang tidak mudah difaktorkan: b² − 4ac = 9 + 8 = 17, sehingga x = (−3 ± √17)/4. Dalam desimal, x ≈ 0.281 atau x ≈ −1.781. Rumus memberi jawaban eksak dengan akar kuadrat, dan kalkulator mengubahnya menjadi desimal saat diperlukan.

Cara mana yang sebaiknya dipilih? Jika persamaan tidak memiliki suku x, seperti 5x² = 20, pisahkan x² dan ambil akar kuadrat: x² = 4, x = ±2. Jika mudah difaktorkan, gunakan pemfaktoran. Jika tidak, gunakan rumus yang selalu berlaku. Di laboratorium, atur a, b, dan c sesuai persamaan apa pun. Panel memasukkannya ke rumus langkah demi langkah; titik hijau pada sumbu x adalah penyelesaiannya.

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

y = 2x² + 3x − 1. Titik potong sumbu x adalah penyelesaian 2x² + 3x − 1 = 0, sekitar 0.281 dan −1.781. Ubah a, b, dan c untuk menyelesaikan persamaan lain.

Apa penyelesaian yang lebih besar dari x² − 2x − 3 = 0?
Pada 3x² − 5x + 2 = 0, berapakah b?
Apa penyelesaian positif x² + 10x = 39?
Apa penyelesaian yang lebih besar dari 2x² + 3x − 1 = 0, hingga dua angka di belakang titik desimal?
Apa penyelesaian yang lebih besar dari x² + 4x + 1 = 0, hingga dua angka di belakang titik desimal?
Bilangan berapa yang melengkapkan x² + 6x menjadi kuadrat sempurna?
Selesaikan x² − 6x + 9 = 0.
Apa penyelesaian positif 5x² = 20?
Dalam rumus kuadrat, apa yang berada di dalam akar kuadrat?
- b² − 4ac
- b² + 4ac
- 4ac − b²
- 2a
Apa penyelesaian yang lebih kecil dari 2x² − 7x + 3 = 0? Tuliskan sebagai pecahan.

Rumus kuadrat	x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Melengkapkan kuadrat sempurna untuk x² + bx	Tambahkan (b/2)²
Sifat akar kuadrat	Jika x² = k, maka x = ±√k
Contoh Al-Khwarizmi	x² + 10x = 39, x = 3

Kesalahan umum

Pada x² − 4x − 5 = 0, memasukkan −b = −4 ke rumus sehingga mendapat 1 dan −5. b bernilai −4, sehingga −b bernilai +4. Maka b² − 4ac = 16 + 20 = 36 dan x = (4 ± 6)/2, yaitu 5 atau −1. Masukkan kembali 5: 25 − 20 − 5 = 0.
Hanya membagi akar kuadrat dengan 2a: x = −b ± √(b² − 4ac)/(2a). Garis pecahan berada di bawah seluruh pembilang, termasuk −b. Untuk 2x² + 4x − 6 = 0, b² − 4ac = 16 + 48 = 64, sehingga x = (−4 ± 8)/4 = 1 atau −3. Jika hanya 8 yang dibagi, hasilnya −4 ± 2, yaitu −2 atau −6. Keduanya tidak memenuhi persamaan.
Menyelesaikan (x + 2)² = 9 sebagai x + 2 = 3, sehingga hanya mendapat x = 1. Kuadrat 3 maupun −3 bernilai 9. x + 2 = ±3 memberi x = 1 atau x = −5. Periksa yang kedua: (−5 + 2)² = (−3)² = 9.

Catatan untuk guruTurunkan rumus satu kali dari proses melengkapkan kuadrat sempurna di depan kelas. Setelah itu, barulah siswa boleh memakainya dengan bebas. Siswa yang sudah melihat penurunannya memahami mengapa 2a berada di bawah seluruh pembilang. Setiap selesai memakai rumus, minta pemeriksaan dengan substitusi. Tanda minus yang terlewat akan langsung terlihat.

Poin penting

Melengkapkan kuadrat sempurna: tambahkan (b/2)² pada x² + bx.
Rumus kuadrat: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
Baca a, b, dan c beserta tandanya dari bentuk baku.
Tanpa suku x: gunakan akar kuadrat. Mudah difaktorkan: faktorkan. Selain itu: gunakan rumus.

Sumber kursus ini (6)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

Diperiksa: 2026-10-18