La formule de résolution

Vers 800, Al-Khwarizmi résolvait x² + 10x = 39 en complétant un carré. La formule de résolution reprend les mêmes étapes une fois pour toutes, pour n'importe quels a, b et c.

Un carré dessiné vers 800

ContexteMacTutor rappelle qu'on attribue souvent aux Babyloniens, vers 1800 avant notre ère, la résolution d'équations du second degré, mais qu'ils n'avaient pas la notion d'équation. Ils disposaient de recettes pour des problèmes que nous écririons sous cette forme. Leur méthode revenait à compléter le carré ; les réponses étaient toujours positives, car il s'agissait généralement de longueurs. Brahmagupta (598 à 665) proposa une méthode presque moderne qui admettait les quantités négatives. Vers 800, Al-Khwarizmi, sans utiliser zéro ni nombres négatifs, classa ces équations en six types. Il donna pour chacun une règle, un exemple numérique tel que x² + 10x = 39 et une preuve géométrique par complétion du carré, proche de la figure ci-dessous. En 1145, le Liber embadorum d'Abraham bar Hiyya devint le premier livre publié en Europe à en donner la résolution complète.

Ajoute 25 : x² + 10x devient un carré

Beaucoup de polynômes du second degré ne se factorisent pas avec des entiers. Compléter le carré est une méthode qui fonctionne toujours. Pars de x² + 10x = 39. Le membre de gauche est presque un carré parfait : (x + 5)² = x² + 10x + 25 ; il manque donc 25. Ajoute 25 aux deux membres pour conserver l'égalité : x² + 10x + 25 = 64. Le membre de gauche vaut maintenant (x + 5)², donc (x + 5)² = 64. Prends les racines carrées : x + 5 = 8 ou x + 5 = −8, d'où x = 3 ou x = −13. Le nombre à ajouter est toujours le carré de la moitié du coefficient de x.

Interprétation géométrique : un carré de côté x et deux bandes de dimensions 5 et x forment x² + 10x. Le petit coin de dimensions 5 et 5 complète un carré de côté x + 5 et d'aire 39 + 25 = 64.

Les mêmes étapes avec des lettres donnent la formule

Reprends ces étapes avec des lettres. Pars de ax² + bx + c = 0, divise par a, passe c/a de l'autre côté, ajoute (b/(2a))² aux deux membres, puis prends les racines carrées. Tu obtiens la formule de résolution : x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Le signe ± donne deux réponses, l'une avec plus et l'autre avec moins. Pour l'utiliser, écris d'abord l'équation sous forme générale afin de lire a, b et c avec leurs signes. Attention à b. Dans x² − 2x − 3 = 0, b = −2, donc −b = 2.

Exemple résolu : x² − 2x − 3 = 0 donne a = 1, b = −2, c = −3. Alors b² − 4ac = 4 + 12 = 16 et √16 = 4, donc x = (2 ± 4)/2, soit 3 ou −1. La factorisation donne le même résultat : (x − 3)(x + 1) = 0. Essaie maintenant 2x² + 3x − 1 = 0, qui ne se factorise pas simplement : b² − 4ac = 9 + 8 = 17, donc x = (−3 ± √17)/4. En écriture décimale, x ≈ 0.281 ou x ≈ −1.781. La formule fournit des réponses exactes avec une racine carrée ; une calculatrice en donne des valeurs approchées si nécessaire.

Quelle méthode choisir ? Si l'équation n'a pas de terme en x, comme 5x² = 20, isole x² puis prends les racines carrées : x² = 4, x = ±2. Si elle se factorise facilement, factorise. Sinon, utilise la formule, qui fonctionne toujours. Dans le laboratoire, règle a, b et c sur les coefficients d'une équation : le panneau les remplace dans la formule, étape par étape. Les points verts sur l'axe des abscisses sont les solutions.

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y = 2x² + 3x − 1. Ses intersections avec l'axe des abscisses correspondent aux solutions de 2x² + 3x − 1 = 0, environ 0.281 et −1.781. Modifie a, b et c pour résoudre d'autres équations.

Quelle est la plus grande solution de x² − 2x − 3 = 0 ?
Dans 3x² − 5x + 2 = 0, combien vaut b ?
Quelle est la solution positive de x² + 10x = 39 ?
Quelle est la plus grande solution de 2x² + 3x − 1 = 0, arrondie à deux décimales ?
Quelle est la plus grande solution de x² + 4x + 1 = 0, arrondie à deux décimales ?
Quel nombre complète le carré pour x² + 6x ?
Résous x² − 6x + 9 = 0.
Quelle est la solution positive de 5x² = 20 ?
Dans la formule de résolution, quelle expression se trouve sous la racine carrée ?
- b² − 4ac
- b² + 4ac
- 4ac − b²
- 2a
Quelle est la plus petite solution de 2x² − 7x + 3 = 0 ? Écris-la sous forme de fraction.

Formule de résolution	x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Compléter le carré pour x² + bx	Ajouter (b/2)²
Propriété des racines carrées	Si x² = k, alors x = ±√k
L'exemple d'Al-Khwarizmi	x² + 10x = 39, x = 3

Erreurs fréquentes

Dans x² − 4x − 5 = 0, remplacer −b par −4 dans la formule et obtenir 1 et −5. b vaut −4, donc −b vaut +4. Alors b² − 4ac = 16 + 20 = 36 et x = (4 ± 6)/2, soit 5 ou −1. Remplace x par 5 : 25 − 20 − 5 = 0.
Ne diviser que la racine carrée par 2a : x = −b ± √(b² − 4ac)/(2a). La barre de fraction porte sur tout le numérateur, −b compris. Pour 2x² + 4x − 6 = 0, b² − 4ac = 16 + 48 = 64, donc x = (−4 ± 8)/4 = 1 ou −3. Diviser seulement 8 donne −4 ± 2, soit −2 ou −6, et aucune de ces valeurs ne vérifie l'équation.
Résoudre (x + 2)² = 9 en écrivant seulement x + 2 = 3, donc x = 1. 3 et −3 ont tous deux pour carré 9. x + 2 = ±3 donne x = 1 ou x = −5. Vérifie la seconde solution : (−5 + 2)² = (−3)² = 9.

Note du professeurDémontre une fois la formule devant la classe en complétant le carré, puis laisse les élèves l'utiliser librement. Un élève qui a vu la démonstration sait pourquoi 2a divise tout le numérateur. Après chaque résultat obtenu par la formule, demande une vérification par substitution. Un signe moins oublié apparaît immédiatement.

L'essentiel

Compléter le carré : ajouter (b/2)² à x² + bx.
Formule de résolution : x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
Lis a, b et c avec leurs signes dans la forme générale.
Pas de terme en x : racines carrées. Facteurs faciles à trouver : factorisation. Sinon : la formule.

Sources de ce cours (6)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

Consulté le: 2026-10-18