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Start›Algebra›Quadratische Funktionen

Mitternachtsformel

Al-Chwarizmi löste um 800 die Gleichung x² + 10x = 39 durch quadratische Ergänzung. Die Mitternachtsformel fasst dieselben Schritte für beliebige a, b und c zusammen.

Ein um 800 gezeichnetes Quadrat

HintergrundLaut MacTutor heißt es oft, die Babylonier hätten um 1800 v. Chr. quadratische Gleichungen gelöst. Den Begriff einer Gleichung kannten sie jedoch nicht. Sie hatten schrittweise Rechenverfahren für Aufgaben, die wir heute quadratisch formulieren würden. Im Kern war das quadratische Ergänzung. Die Ergebnisse waren immer positiv, weil es meist um Längen ging. Brahmagupta (598 bis 665) gab ein fast modernes Verfahren an, das negative Größen zuließ. Al-Chwarizmi ordnete um 800, ohne null oder negative Zahlen, quadratische Gleichungen in sechs Typen. Für jeden gab er eine Regel mit Zahlenbeispiel wie x² + 10x = 39 und bewies sie geometrisch durch Ergänzen eines Quadrats, ähnlich der Abbildung unten. 1145 erschien mit Abraham bar Hiyyas Liber embadorum das erste Buch in Europa mit der vollständigen Lösung.

Mit 25 wird aus x² + 10x ein Quadrat

Viele quadratische Terme lassen sich nicht mit ganzen Zahlen faktorisieren. Quadratische Ergänzung funktioniert immer. Beginne mit x² + 10x = 39. Links steht fast ein vollständiges Quadrat: (x + 5)² = x² + 10x + 25. Es fehlen also 25. Addiere auf beiden Seiten 25, damit die Gleichung erhalten bleibt: x² + 10x + 25 = 64. Links steht nun (x + 5)², also (x + 5)² = 64. Ziehe die Wurzel: x + 5 = 8 oder x + 5 = −8. Daraus folgt x = 3 oder x = −13. Ergänzt wird immer das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von x.

Die geometrische Darstellung: Ein Quadrat mit Seitenlänge x und zwei Streifen von 5 mal x ergeben x² + 10x. Die kleine Ecke von 5 mal 5 ergänzt ein Quadrat mit Seitenlänge x + 5 und Fläche 39 + 25 = 64.

Dieselben Schritte mit Buchstaben ergeben die Formel

Führe dieselben Schritte mit Buchstaben aus. Beginne mit ax² + bx + c = 0, teile durch a, bringe c/a auf die andere Seite, addiere beidseits (b/(2a))² und ziehe die Wurzel. Das Ergebnis ist die Mitternachtsformel: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Das Zeichen ± steht für zwei Ergebnisse, eines mit Plus, eines mit Minus. Schreibe die Gleichung zuerst in die allgemeine Form, damit du a, b und c mit ihren Vorzeichen ablesen kannst. Achte auf b: Bei x² − 2x − 3 = 0 ist b = −2, also −b = 2.

Rechenbeispiel: Bei x² − 2x − 3 = 0 gilt a = 1, b = −2, c = −3. Dann ist b² − 4ac = 4 + 12 = 16 und √16 = 4. Also x = (2 ± 4)/2, das ergibt 3 oder −1. Faktorisieren liefert dasselbe: (x − 3)(x + 1) = 0. Probiere nun 2x² + 3x − 1 = 0, das sich nicht einfach faktorisieren lässt: b² − 4ac = 9 + 8 = 17, also x = (−3 ± √17)/4. Als Dezimalzahlen: x ≈ 0.281 oder x ≈ −1.781. Die Formel liefert exakte Ergebnisse mit Wurzel. Bei Bedarf macht der Taschenrechner daraus Dezimalzahlen.

Welches Verfahren passt? Ohne x-Term, etwa bei 5x² = 20, stelle nach x² um und ziehe die Wurzel: x² = 4, x = ±2. Wenn es schnell geht, faktorisiere. Sonst nimm die Formel, die immer funktioniert. Stelle im Labor a, b und c passend zur Gleichung ein. Die Anzeige setzt sie Schritt für Schritt in die Formel ein; die grünen Punkte auf der x-Achse sind die Lösungen.

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y = 2x² + 3x − 1. Die Schnittpunkte mit der x-Achse entsprechen den Lösungen von 2x² + 3x − 1 = 0, ungefähr 0.281 und −1.781. Verändere a, b und c, um andere Gleichungen zu lösen.
  1. Was ist die größere Lösung von x² − 2x − 3 = 0?
  2. Wie groß ist b in 3x² − 5x + 2 = 0?
  3. Was ist die positive Lösung von x² + 10x = 39?
  4. Was ist die größere Lösung von 2x² + 3x − 1 = 0, auf zwei Nachkommastellen?
  5. Was ist die größere Lösung von x² + 4x + 1 = 0, auf zwei Nachkommastellen?
  6. Welche Zahl ergänzt x² + 6x zu einem Quadrat?
  7. Löse x² − 6x + 9 = 0.
  8. Was ist die positive Lösung von 5x² = 20?
  9. Was steht in der Mitternachtsformel unter der Wurzel?
    • b² − 4ac
    • b² + 4ac
    • 4ac − b²
    • 2a
  10. Was ist die kleinere Lösung von 2x² − 7x + 3 = 0? Schreibe sie als Bruch.
Mitternachtsformelx = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Quadratische Ergänzung von x² + bx(b/2)² addieren
QuadratwurzelmethodeWenn x² = k, dann x = ±√k
Al-Chwarizmis Beispielx² + 10x = 39, x = 3
Häufige Fehler
  • Bei x² − 4x − 5 = 0 wird −b = −4 eingesetzt. Das ergibt 1 und −5. b ist −4, also ist −b gleich +4. Dann b² − 4ac = 16 + 20 = 36 und x = (4 ± 6)/2, also 5 oder −1. Setze 5 ein: 25 − 20 − 5 = 0.
  • Nur die Wurzel wird durch 2a geteilt: x = −b ± √(b² − 4ac)/(2a). Der Bruchstrich steht unter dem gesamten Zähler, einschließlich −b. Bei 2x² + 4x − 6 = 0 gilt b² − 4ac = 16 + 48 = 64, also x = (−4 ± 8)/4 = 1 oder −3. Nur die 8 zu teilen ergibt −4 ± 2, also −2 oder −6. Keine davon erfüllt die Gleichung.
  • (x + 2)² = 9 wird nur mit x + 2 = 3 gelöst, also ausschließlich x = 1. Sowohl 3 als auch −3 ergeben quadriert 9. x + 2 = ±3 liefert x = 1 oder x = −5. Prüfe die zweite Lösung: (−5 + 2)² = (−3)² = 9.
Hinweis für LehrkräfteLeite die Formel einmal vor der Klasse durch quadratische Ergänzung her. Erst danach sollen Lernende sie frei verwenden. Wer die Herleitung gesehen hat, weiß, warum 2a unter dem gesamten Zähler steht. Verlange nach jeder Anwendung eine Einsetzprobe. Ein verlorenes Minuszeichen fällt dabei sofort auf.
Das Wichtigste
  • Quadratische Ergänzung: Zu x² + bx wird (b/2)² addiert.
  • Mitternachtsformel: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
  • Lies a, b und c mit ihren Vorzeichen aus der allgemeinen Form ab.
  • Kein x-Term: Wurzelziehen. Einfache Faktoren: faktorisieren. Sonst: die Formel.
Quellen zu diesem Kurs (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

Abgerufen: 2026-10-18