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ホーム›代数›二次関数と二次方程式

解の公式

アル・フワーリズミーは800年ごろ、平方完成でx² + 10x = 39を解きました。解の公式は、その手順をあらゆるa、b、cに対して一度に行ったものです。

800年ごろに描かれた正方形

背景MacTutorによると、紀元前1800年ごろのバビロニア人は二次方程式を解いたとよく言われますが、方程式という考えはありませんでした。現代なら二次方程式にする問題に、段階的な計算法を使っていました。その本質は平方完成で、通常は長さを求めたため答えは常に正でした。ブラーマグプタ（598年から665年）は負の量も認める、ほぼ現代的な方法を示しました。800年ごろのアル・フワーリズミーは0や負の数を使わず、二次方程式を6種類に分け、x² + 10x = 39のような数値例と規則を示しました。各規則は下図のように、図形で正方形を完成させて証明しています。1145年のアブラハム・バル・ヒヤの『Liber embadorum』は、完全な解法を示してヨーロッパで出版された最初の本となりました。

25を足すとx² + 10xが平方になります

整数で因数分解できない二次式も多くあります。常に使えるのが平方完成です。x² + 10x = 39から始めます。(x + 5)² = x² + 10x + 25なので、左辺には25が足りません。等式を保つため両辺に25を加えるとx² + 10x + 25 = 64です。左辺は(x + 5)²なので、(x + 5)² = 64です。平方根をとるとx + 5 = 8またはx + 5 = −8で、x = 3またはx = −13です。加える数はいつも、xの係数の半分を2乗した数です。

図では、1辺xの正方形と5×xの長方形2つでx² + 10xを表します。角に5×5の小さな正方形を加えると、1辺x + 5、面積39 + 25 = 64の正方形が完成します。

文字でも同じ手順を行うと公式になります

文字で同じ手順を行いましょう。ax² + bx + c = 0をaで割り、c/aを移項し、両辺に(b/(2a))²を加えて平方根をとります。すると解の公式x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)が得られます。±は、足す場合と引く場合の2つの答えを意味します。使う前に標準の形へ直し、a、b、cを符号ごと読み取りましょう。特にbに注意します。x² − 2x − 3 = 0ではb = −2なので−b = 2です。

例としてx² − 2x − 3 = 0では、a = 1、b = −2、c = −3です。b² − 4ac = 4 + 12 = 16、√16 = 4なので、x = (2 ± 4)/2、つまり3または−1です。因数分解でも(x − 3)(x + 1) = 0と同じ結果です。次は簡単に因数分解できない2x² + 3x − 1 = 0です。b² − 4ac = 9 + 8 = 17なのでx = (−3 ± √17)/4です。小数ではx ≈ 0.281またはx ≈ −1.781です。公式は平方根を含む正確な答えを与え、必要なら電卓で小数にできます。

どの方法を選べばよいでしょうか。5x² = 20のようにxの項がなければ、x²だけを残して平方根をとります。x² = 4、x = ±2です。すぐに因数分解できればそれを使い、それ以外は必ず使える解の公式を選びましょう。実験画面でa、b、cを設定すると、パネルが公式への代入を順に示し、x軸上の緑の点が解を表します。

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y = 2x² + 3x − 1です。x軸との交点のx座標は2x² + 3x − 1 = 0の解で、約0.281と−1.781です。a、b、cを変えて別の方程式を解きましょう。
  1. x² − 2x − 3 = 0の大きいほうの解は何ですか。
  2. 3x² − 5x + 2 = 0で、bはいくつですか。
  3. x² + 10x = 39の正の解は何ですか。
  4. 2x² + 3x − 1 = 0の大きいほうの解を、小数第2位まで答えてください。
  5. x² + 4x + 1 = 0の大きいほうの解を、小数第2位まで答えてください。
  6. x² + 6xを平方完成するには、何を加えますか。
  7. x² − 6x + 9 = 0を解きましょう。
  8. 5x² = 20の正の解は何ですか。
  9. 解の公式で、平方根の中にある式はどれですか。
    • b² − 4ac
    • b² + 4ac
    • 4ac − b²
    • 2a
  10. 2x² − 7x + 3 = 0の小さいほうの解を、分数で答えてください。
解の公式x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
x² + bxの平方完成(b/2)²を加えます
平方根を利用する性質x² = kなら、x = ±√kです
アル＝フワーリズミーの例x² + 10x = 39, x = 3
よくある間違い
  • x² − 4x − 5 = 0で、公式に−b = −4を代入し、1と−5を得ます。 bは−4なので−bは+4です。b² − 4ac = 16 + 20 = 36より、x = (4 ± 6)/2、つまり5または−1です。5を代入すると25 − 20 − 5 = 0です。
  • 平方根だけを2aで割り、x = −b ± √(b² − 4ac)/(2a)とします。 分数の分子全体には−bも含まれます。2x² + 4x − 6 = 0なら、b² − 4ac = 16 + 48 = 64なので、x = (−4 ± 8)/4 = 1または−3です。8だけを割ると−4 ± 2、つまり−2または−6となり、どちらも方程式を満たしません。
  • (x + 2)² = 9からx + 2 = 3とし、解はx = 1だけとします。 3も−3も2乗すると9です。x + 2 = ±3からx = 1またはx = −5です。後者を確認すると(−5 + 2)² = (−3)² = 9です。
先生からひとことまず教室で平方完成から公式を一度導き、その後で自由に使ってもらいましょう。導出を見れば、なぜ分子全体を2aで割るか分かります。公式で解くたびに、代入での確認を求めましょう。負の符号を落とす間違いはすぐに分かります。
ポイント
  • 平方完成：x² + bxに(b/2)²を加えます。
  • 解の公式：x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。
  • 標準の形からa、b、cを符号ごと読み取ります。
  • xの項がなければ平方根、簡単に分解できれば因数分解、それ以外は解の公式を使います。
このコースの出典 (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

確認日: 2026-10-18