edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Алгебра›Квадратные уравнения и функции

Формула корней квадратного уравнения

Около 800 года аль-Хорезми решил x² + 10x = 39 выделением полного квадрата. Формула корней выполняет те же действия сразу для любых a, b и c.

Квадрат, нарисованный около 800 года

КонтекстMacTutor отмечает: часто говорят, что вавилоняне около 1800 года до н. э. решали квадратные уравнения, хотя понятия уравнения у них не было. У них были пошаговые правила для задач, которые мы записали бы квадратными уравнениями. По сути это выделение полного квадрата; ответы всегда были положительными, поскольку обычно обозначали длины. Брахмагупта (598–665) дал почти современный метод, допускающий отрицательные величины. Аль-Хорезми около 800 года, не используя нуль и отрицательные числа, разделил квадратные уравнения на шесть типов. Для каждого он дал правило с числовым примером вроде x² + 10x = 39 и геометрически доказал его достраиванием квадрата, как на рисунке ниже. В 1145 году «Книга об измерении» Авраама бар-Хийи стала первой опубликованной в Европе книгой с полным решением.

Прибавь 25, и x² + 10x станет квадратом

Многие квадратные трёхчлены нельзя разложить с целыми числами. Метод, который работает всегда, называется выделением полного квадрата. Начнём с x² + 10x = 39. Левая часть почти полный квадрат: (x + 5)² = x² + 10x + 25, не хватает 25. Прибавим 25 к обеим частям, сохраняя равенство: x² + 10x + 25 = 64. Теперь слева (x + 5)², значит (x + 5)² = 64. Извлечём корни: x + 5 = 8 или x + 5 = −8, откуда x = 3 или x = −13. Всегда прибавляют квадрат половины коэффициента при x.

Геометрическая картина: квадрат со стороной x и две полоски 5 на x дают x² + 10x. Маленький уголок 5 на 5 достраивает квадрат со стороной x + 5 и площадью 39 + 25 = 64.

Те же действия с буквами дают формулу

Выполним те же действия с буквами. Начнём с ax² + bx + c = 0, разделим на a, перенесём c/a, прибавим (b/(2a))² к обеим частям и извлечём корни. Получим формулу корней квадратного уравнения: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Знак ± означает два ответа: один с плюсом, другой с минусом. Сначала приведи уравнение к стандартному виду, чтобы определить a, b и c вместе со знаками. Следи за b. В x² − 2x − 3 = 0 имеем b = −2, поэтому −b = 2.

Пример: в x² − 2x − 3 = 0 имеем a = 1, b = −2, c = −3. Тогда b² − 4ac = 4 + 12 = 16 и √16 = 4, поэтому x = (2 ± 4)/2, то есть 3 или −1. Разложение даёт то же: (x − 3)(x + 1) = 0. Теперь попробуем 2x² + 3x − 1 = 0, где удобного разложения нет: b² − 4ac = 9 + 8 = 17, поэтому x = (−3 ± √17)/4. В десятичной записи x ≈ 0.281 или x ≈ −1.781. Формула даёт точные ответы с корнем, а калькулятор при необходимости превращает их в десятичные дроби.

Как выбрать метод? Если члена с x нет, например 5x² = 20, вырази x² и извлеки корни: x² = 4, x = ±2. Если легко разложить на множители, разложи. Иначе используй формулу: она работает всегда. В лаборатории задай a, b и c своего уравнения: панель пошагово подставит их в формулу, а зелёные точки на оси x покажут решения.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

y = 2x² + 3x − 1. Пересечения с осью x являются решениями 2x² + 3x − 1 = 0: примерно 0.281 и −1.781. Меняй a, b и c, чтобы решать другие уравнения.
  1. Каков больший корень x² − 2x − 3 = 0?
  2. В 3x² − 5x + 2 = 0 чему равно b?
  3. Каков положительный корень x² + 10x = 39?
  4. Каков больший корень 2x² + 3x − 1 = 0 с округлением до сотых?
  5. Каков больший корень x² + 4x + 1 = 0 с округлением до сотых?
  6. Какое число дополнит x² + 6x до полного квадрата?
  7. Реши x² − 6x + 9 = 0.
  8. Каков положительный корень 5x² = 20?
  9. Что стоит под корнем в формуле корней квадратного уравнения?
    • b² − 4ac
    • b² + 4ac
    • 4ac − b²
    • 2a
  10. Каков меньший корень 2x² − 7x + 3 = 0? Запиши дробью.
Формула корней квадратного уравненияx = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Выделение полного квадрата в x² + bxПрибавь (b/2)²
Свойство квадратного корняЕсли x² = k, то x = ±√k
Пример аль-Хорезмиx² + 10x = 39, x = 3
Частые ошибки
  • В x² − 4x − 5 = 0 подставили −b = −4 в формулу и получили 1 и −5. b равно −4, поэтому −b равно +4. Тогда b² − 4ac = 16 + 20 = 36 и x = (4 ± 6)/2, то есть 5 или −1. Подставь 5: 25 − 20 − 5 = 0.
  • На 2a разделили только корень: x = −b ± √(b² − 4ac)/(2a). Дробная черта проходит под всем числителем, включая −b. Для 2x² + 4x − 6 = 0 имеем b² − 4ac = 16 + 48 = 64, поэтому x = (−4 ± 8)/4 = 1 или −3. Если делить только 8, получится −4 ± 2, то есть −2 или −6. Ни одно число не подходит.
  • Для (x + 2)² = 9 записали x + 2 = 3, поэтому x = 1 и больше решений нет. И 3, и −3 в квадрате дают 9. x + 2 = ±3 даёт x = 1 или x = −5. Проверим второе: (−5 + 2)² = (−3)² = 9.
Заметка для учителяОдин раз выведи формулу выделением полного квадрата перед классом и лишь затем разрешай свободно ею пользоваться. Ученик, видевший вывод, знает, почему 2a стоит под всем числителем. После каждого ответа по формуле проси проверить подстановкой. Потерянный минус проявится сразу.
Главное
  • Выделение полного квадрата: прибавь (b/2)² к x² + bx.
  • Формула корней квадратного уравнения: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
  • Определяй a, b и c вместе со знаками по стандартной записи.
  • Нет члена с x: извлекай корни. Простые множители: разложи. Иначе используй формулу.
Источники курса (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

Проверено: 2026-10-18