Вершинная форма

f(x) = 2x² + 4x − 4 и f(x) = 2(x + 1)² − 6 задают одну функцию, но только вторая запись сразу показывает вершину (−1, −6).

Где нижняя точка 2x² + 4x − 4?

Попробуй решить до чтения. Где нижняя точка f(x) = 2x² + 4x − 4? Таблица поможет, но небыстро. f(0) = −4, f(−1) = −6 и f(−2) = −4. Два значения −4 находятся на одинаковом расстоянии от x = −1, значит низ при x = −1, а минимум равен −6. Потребовались три подстановки и удачная догадка. В записи 2(x + 1)² − 6 та же функция показывает (−1, −6) вообще без таблицы.

Почему вершина a(x − h)² + k находится в (h, k)

Квадратичную функцию можно записать как f(x) = a(x − h)² + k. OpenStax называет это стандартной формой, а поскольку вершина видна сразу, её также называют вершинной формой. Вершина имеет координаты (h, k). Объяснение короткое: (x − h)² является квадратом, поэтому неотрицателен и равен 0 только при x = h. Если a > 0, наименьшее значение a(x − h)² равно 0, значит наименьшее значение f равно k и достигается при x = h. При a < 0 тот же довод даёт наибольшее значение.

Следи за знаком внутри скобок. У f(x) = (x − 3)² + 2 вершина (3, 2), с положительным 3. В примере OpenStax f(x) = −3(x + 2)² + 4 выражение x + 2 равно x − (−2), поэтому h = −2 и вершина (−2, 4). Поскольку a = −3 отрицательно, ветви направлены вниз, 4 является максимумом, а область значений состоит из всех y ≤ 4. Ось симметрии имеет уравнение x = h, здесь x = −2.

Сначала h = −b/(2a), затем k = f(h)

Если функция задана как ax² + bx + c, вершину можно найти быстро. Ось симметрии x = −b/(2a), значит это и есть h. Затем k равно значению при h: k = f(h). Вернёмся к исходной задаче f(x) = 2x² + 4x − 4. Здесь h = −4/(2 × 2) = −1, а k = f(−1) = 2(1) − 4 − 4 = −6. Сохраняя a, запишем f(x) = 2(x + 1)² − 6. Раскрытие скобок подтверждает: 2(x² + 2x + 1) − 6 = 2x² + 4x + 2 − 6 = 2x² + 4x − 4.

Почему −b/(2a)? Раскрыв a(x − h)² + k, получим ax² − 2ahx + (ah² + k). Сравнение с ax² + bx + c по членам даёт b = −2ah, откуда h = −b/(2a). То же сравнение показывает c = ah² + k. Обе формы содержат одинаковую информацию: одна удобна для определения вершины, другая для пересечения с осью y, равного c.

Другой путь: выделение полного квадрата. Возьмём x² − 6x + 7. Половина −6 равна −3, а (−3)² = 9. Прибавим и вычтем 9: x² − 6x + 9 − 9 + 7 = (x − 3)² − 2. Вершина (3, −2). Оба метода должны совпасть, и здесь это так: −b/(2a) = 6/2 = 3 и f(3) = 9 − 18 + 7 = −2.

Сдвигаем y = x² так, чтобы вершина попала в (h, k)

Вершинная форма также показывает, как получить график из y = x². Возьми исходную кривую, растяни её по вертикали с коэффициентом a (и отрази, если a отрицательно), сдвинь на h по горизонтали и на k вверх или вниз. Вершина (0, 0) функции y = x² попадёт в (h, k). В лаборатории перетаскивай красную вершину: панель одновременно обновляет вершинную форму и общий вид, позволяя наблюдать изменение b и c при неизменной форме.