Scheitelpunktform

f(x) = 2x² + 4x − 4 und f(x) = 2(x + 1)² − 6 sind dieselbe Funktion. Nur die zweite Form zeigt den Scheitelpunkt (−1, −6) auf einen Blick.

Wo liegt der tiefste Punkt von 2x² + 4x − 4?

Probiere es vor dem Weiterlesen: Wo liegt der tiefste Punkt von f(x) = 2x² + 4x − 4? Eine Tabelle führt langsam dorthin. f(0) = −4, f(−1) = −6 und f(−2) = −4. Die beiden Werte −4 liegen gleich weit von x = −1 entfernt. Der tiefste Punkt liegt also bei x = −1, das Minimum ist −6. Dafür waren drei Berechnungen und eine glückliche Vermutung nötig. Als 2(x + 1)² − 6 geschrieben zeigt dieselbe Funktion (−1, −6) ohne Tabelle.

Warum a(x − h)² + k den Scheitelpunkt (h, k) hat

Eine quadratische Funktion lässt sich auch als f(x) = a(x − h)² + k schreiben. OpenStax nennt dies „standard form“. Weil der Scheitelpunkt direkt ablesbar ist, heißt sie auch Scheitelpunktform. Der Scheitelpunkt ist (h, k). Die Begründung ist kurz: (x − h)² ist ein Quadrat und daher nie negativ. Genau bei x = h ist es 0. Für a > 0 ist der kleinste Wert von a(x − h)² also 0. Der kleinste Wert von f ist daher k und wird bei x = h erreicht. Für a < 0 liefert dieselbe Überlegung den größten Wert.

Achte auf das Vorzeichen in der Klammer. Bei f(x) = (x − 3)² + 2 ist der Scheitelpunkt (3, 2), mit positiver 3. Bei f(x) = −3(x + 2)² + 4, einem Beispiel von OpenStax, ist x + 2 dasselbe wie x − (−2). Also gilt h = −2 und der Scheitelpunkt ist (−2, 4). Weil a = −3 negativ ist, öffnet sich die Parabel nach unten, 4 ist das Maximum und der Wertebereich umfasst alle y mit y ≤ 4. Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade x = h, hier x = −2.

Zuerst h = −b/(2a), dann k = f(h)

In der Form ax² + bx + c lässt sich der Scheitelpunkt schnell bestimmen. Die Symmetrieachse ist x = −b/(2a), also ist das h. Dann ist k einfach der Funktionswert an dieser Stelle: k = f(h). Zurück zur Ausgangsaufgabe f(x) = 2x² + 4x − 4. Hier gilt h = −4/(2 × 2) = −1 und k = f(−1) = 2(1) − 4 − 4 = −6. Behalte a bei und schreibe f(x) = 2(x + 1)² − 6. Ausmultiplizieren bestätigt es: 2(x² + 2x + 1) − 6 = 2x² + 4x + 2 − 6 = 2x² + 4x − 4.

Warum −b/(2a)? Ausmultipliziert ergibt a(x − h)² + k den Term ax² − 2ahx + (ah² + k). Der Vergleich mit ax² + bx + c liefert b = −2ah. Nach h aufgelöst wird daraus h = −b/(2a). Ebenso folgt c = ah² + k. Beide Formen enthalten also dieselben Informationen. Eine eignet sich zum Ablesen des Scheitelpunkts, die andere zum Ablesen des y-Achsenabschnitts c.

Ein anderer Weg ist die quadratische Ergänzung. Nimm x² − 6x + 7. Die Hälfte von −6 ist −3 und (−3)² = 9. Addiere und subtrahiere 9: x² − 6x + 9 − 9 + 7 = (x − 3)² − 2. Der Scheitelpunkt ist (3, −2). Beide Verfahren müssen übereinstimmen: −b/(2a) = 6/2 = 3 und f(3) = 9 − 18 + 7 = −2.

y = x² verschieben, bis der Scheitelpunkt bei (h, k) liegt

Die Scheitelpunktform zeigt auch, wie der Graph aus y = x² entsteht. Strecke die Grundparabel mit a (und spiegle sie bei negativem a), verschiebe sie um h Einheiten seitwärts und um k nach oben oder unten. Der Scheitelpunkt (0, 0) von y = x² landet bei (h, k). Ziehe im Labor den roten Scheitelpunkt: Die Anzeige aktualisiert Scheitelpunktform und allgemeine Form gleichzeitig. So siehst du, wie sich b und c ändern, während die Form gleich bleibt.