Durch Faktorisieren lösen

Wenn (x − 2)(x + 3) = 0, gilt x − 2 = 0 oder x + 3 = 0. Die Lösungen sind also 2 und −3. Keine andere Zahl macht das Produkt null.

Beim Teilen beider Seiten durch x geht eine Lösung verloren

Ein verlockender Schritt: Zum Lösen von x² = 5x beide Seiten durch x teilen und x = 5 erhalten. Die Probe stimmt: 25 = 25. Aber auch x = 0 funktioniert, denn 0 = 0. Diese Lösung ist verschwunden. Durch x darf man nur teilen, wenn x nicht 0 ist. Genau 0 wurde dabei ausgeschlossen. Sicher ist der Weg über eine Seite: x² − 5x = 0, also x(x − 5) = 0. So erhältst du 0 und 5. Um diesen Weg geht es auf der restlichen Seite.

Ist ein Produkt 0, ist mindestens ein Faktor 0

Eine quadratische Gleichung enthält ein Polynom zweiten Grades und wird meist als ax² + bx + c = 0 geschrieben. Oft löst man sie am einfachsten durch Faktorisieren. Grundlage ist der Satz vom Nullprodukt: Wenn a · b = 0, dann ist a = 0 oder b = 0. Denn jede Zahl mal null ergibt null, aber zwei von null verschiedene Zahlen ergeben nie null. Lässt sich die linke Seite als Produkt zweier einfacherer Faktoren schreiben, zerfällt die schwierige Frage in zwei einfache.

Faktorisieren ist rückwärts gelesenes Multiplizieren. OpenStax zeigt das an (x − 2)(x + 3): Ausmultipliziert ergibt es x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6. Die Gleichung x² + x − 6 = 0 wird also zu (x − 2)(x + 3) = 0. Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt x − 2 = 0 oder x + 3 = 0, also x = 2 oder x = −3. Prüfe beide: 4 + 2 − 6 = 0 und 9 − 3 − 6 = 0. Im Graphen von y = x² + x − 6 sind dies die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse.

Produkt 6, Summe −5: das Zahlenpaar für x² − 5x + 6 finden

Suche bei x² + bx + c zwei Zahlen mit Produkt c und Summe b. Für x² − 5x + 6 brauchst du das Produkt 6 und die Summe −5. Das Produkt 6 liefern 1 und 6, 2 und 3 sowie deren negative Gegenstücke. Nur −2 und −3 ergeben zusammen −5. Also x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), mit den Lösungen 2 und 3. Die Vorzeichen helfen: Bei positivem c haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen, nämlich das von b. Bei negativem c ist eine positiv und eine negativ.

Zwei besondere Formen solltest du erkennen. Erstens ein gemeinsamer Faktor: Bei 3x² − 12x = 0 enthalten beide Terme 3x, also 3x(x − 4) = 0 und x = 0 oder x = 4. Teile nicht beide Seiten durch x. Wie oben geht sonst die Lösung 0 verloren. Zweitens die Differenz zweier Quadrate: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Daher liefert x² − 4 = 0 die Lösungen x = 2 oder x = −2. Dieselbe Gleichung lässt sich auch durch Wurzelziehen lösen: x² = 4, also x = ±2.

Ist a nicht 1, dauert die Suche etwas länger. Probiere für 2x² + 5x − 3 = 0 Faktoren der Form (2x + p)(x + q) mit pq = −3. Das Paar p = −1, q = 3 passt: (2x − 1)(x + 3) = 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3. Setze jeden Faktor null und erhalte x = 1/2 und x = −3. Passt kein ganzzahliges Paar, lässt sich die Gleichung nicht so einfach faktorisieren. Die Mitternachtsformel in der nächsten Einheit löst sie trotzdem.

Ein Rechteck mit 40 m² und die verworfene Lösung

Ein Rechteck ist 3 Meter länger als breit und hat 40 Quadratmeter Fläche. Nenne die Breite w, dann ist die Länge w + 3. Es gilt w(w + 3) = 40, also w² + 3w − 40 = 0. Zwei Zahlen mit Produkt −40 und Summe 3 sind 8 und −5. Somit (w + 8)(w − 5) = 0 und w = −8 oder w = 5. Eine Breite kann nicht negativ sein. Daher ist die Breite 5 m und die Länge 8 m. Probe: 5 × 8 = 40. Eine zur Situation unpassende Lösung zu verwerfen gehört zum normalen Vorgehen.