Risolvere con la scomposizione

Se (x − 2)(x + 3) = 0, allora x − 2 = 0 oppure x + 3 = 0: le soluzioni sono 2 e −3. Nessun altro numero annulla il prodotto.

Dividere entrambi i membri per x fa perdere una radice

Ecco un passaggio allettante. Per risolvere x² = 5x, dividi entrambi i membri per x e ottieni x = 5. La verifica funziona: 25 = 25. Ma funziona anche x = 0, perché 0 = 0, ed è scomparso. Dividere per x è consentito solo se x non è 0, e 0 era proprio la soluzione scartata. La strada sicura porta tutto da un lato: x² − 5x = 0, quindi x(x − 5) = 0, e si trovano sia 0 sia 5. Il resto della pagina parla di questa strada.

Se un prodotto è 0, almeno un fattore è 0

Un'equazione di secondo grado contiene un polinomio di secondo grado e si scrive di solito nella forma normale ax² + bx + c = 0. Spesso il modo più semplice per risolverla è scomporre in fattori. Si basa su un solo fatto, la legge di annullamento del prodotto: se a · b = 0, allora a = 0 oppure b = 0. Il motivo è che qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero, mentre due numeri non nulli non danno mai zero. Se il primo membro si può scrivere come prodotto di due fattori più semplici, la domanda difficile si divide in due facili.

Scomporre è moltiplicare al contrario. OpenStax lo mostra con (x − 2)(x + 3): sviluppando si ottiene x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6. Quindi l'equazione x² + x − 6 = 0 si riscrive come (x − 2)(x + 3) = 0. Per la legge di annullamento del prodotto, x − 2 = 0 oppure x + 3 = 0, da cui x = 2 oppure x = −3. Verifica entrambe: 4 + 2 − 6 = 0 e 9 − 3 − 6 = 0. Sul grafico di y = x² + x − 6 sono le due intersezioni con l'asse x.

Prodotto 6, somma −5: trovare la coppia per x² − 5x + 6

Per x² + bx + c, cerca due numeri con prodotto c e somma b. Per x² − 5x + 6 servono prodotto 6 e somma −5. Le coppie con prodotto 6 sono 1 e 6, 2 e 3 e le loro opposte; solo −2 e −3 hanno somma −5. Quindi x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), e le soluzioni sono 2 e 3. I segni aiutano: c positivo significa che i due numeri hanno lo stesso segno, quello di b; c negativo significa che uno è positivo e l'altro negativo.

Conviene riconoscere due casi particolari. Primo, un fattore comune: 3x² − 12x = 0 ha 3x in entrambi i termini, quindi 3x(x − 4) = 0 e x = 0 oppure x = 4. Non dividere entrambi i membri per x: come all'inizio della pagina, perderesti la soluzione 0. Secondo, una differenza di quadrati: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), quindi x² − 4 = 0 dà x = 2 oppure x = −2. La stessa equazione si risolve anche estraendo la radice quadrata: x² = 4, quindi x = ±2.

Quando a non è 1, la ricerca richiede un po' più di tempo. Per 2x² + 5x − 3 = 0, prova fattori della forma (2x + p)(x + q) con pq = −3. La coppia p = −1, q = 3 funziona: (2x − 1)(x + 3) = 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3. Uguagliando ciascun fattore a zero ottieni x = 1/2 e x = −3. Se nessuna coppia di interi funziona, il trinomio non si scompone facilmente; la formula risolutiva della prossima unità permette comunque di risolverlo.

Un rettangolo di 40 m² e la radice da scartare

Un rettangolo è lungo 3 metri più della sua larghezza e ha area di 40 metri quadrati. Chiama w la larghezza; la lunghezza è w + 3, quindi w(w + 3) = 40, cioè w² + 3w − 40 = 0. Due numeri con prodotto −40 e somma 3 sono 8 e −5, quindi (w + 8)(w − 5) = 0 e w = −8 oppure w = 5. Una larghezza non può essere negativa: la larghezza è dunque 5 m e la lunghezza 8 m. Verifica: 5 × 8 = 40. Scartare una soluzione incompatibile con la situazione è un passaggio normale.