Resolver por factorización

Si (x − 2)(x + 3) = 0, entonces x − 2 = 0 o x + 3 = 0, así que las soluciones son 2 y −3. Ningún otro número hace cero el producto.

Dividir los dos lados entre x hace perder una raíz

Hay un paso tentador. Para resolver x² = 5x, divide los dos lados entre x y obtienes x = 5. Se comprueba: 25 = 25. Pero x = 0 también funciona, ya que 0 = 0, y ha desaparecido. Dividir entre x solo está permitido cuando x no es 0, y 0 era justo la solución que se tiró. El camino seguro deja todo en un lado: x² − 5x = 0, así que x(x − 5) = 0, y salen tanto 0 como 5. El resto de esta página trata de ese camino.

Si un producto es 0, uno de los factores es 0

Una ecuación cuadrática es una ecuación con un polinomio de segundo grado, que suele escribirse en la forma estándar ax² + bx + c = 0. Muchas veces la forma más fácil de resolverla es factorizar. Esto se apoya en un solo hecho, la propiedad del producto cero: si a · b = 0, entonces a = 0 o b = 0. La razón es que cualquier cosa multiplicada por cero da cero, y dos números distintos de cero nunca dan cero al multiplicarse. Así que si el lado izquierdo se puede escribir como producto de dos factores más simples, la pregunta difícil se divide en dos fáciles.

Factorizar es multiplicar al revés. OpenStax lo muestra con (x − 2)(x + 3): al multiplicar obtienes x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6. Así que la ecuación x² + x − 6 = 0 se puede reescribir como (x − 2)(x + 3) = 0. Por la propiedad del producto cero, x − 2 = 0 o x + 3 = 0, lo que da x = 2 o x = −3. Comprueba las dos: 4 + 2 − 6 = 0 y 9 − 3 − 6 = 0. En la gráfica de y = x² + x − 6 son las dos abscisas al origen.

Producto 6, suma −5: hallar la pareja para x² − 5x + 6

Para x² + bx + c, busca dos números cuyo producto sea c y cuya suma sea b. Para x² − 5x + 6 necesitas producto 6 y suma −5. Las parejas cuyo producto es 6 son 1 y 6, 2 y 3, y sus opuestos; solo −2 y −3 suman −5. Así que x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), y las soluciones son 2 y 3. Los signos dan pistas: si c es positivo, los dos números tienen el mismo signo, el de b; si c es negativo, uno es positivo y el otro negativo.

Vale la pena reconocer dos formas especiales. Primero, un factor común: 3x² − 12x = 0 tiene 3x en los dos términos, así que 3x(x − 4) = 0 y x = 0 o x = 4. No dividas los dos lados entre x. Como al principio de la página, eso tira la solución 0. Segundo, una diferencia de cuadrados: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), así que x² − 4 = 0 da x = 2 o x = −2. La misma ecuación también se puede resolver con la propiedad de la raíz cuadrada: x² = 4, así que x = ±2.

Cuando a no es 1, la búsqueda tarda un poco más. Para 2x² + 5x − 3 = 0, prueba factores de la forma (2x + p)(x + q) con pq = −3. La pareja p = −1, q = 3 funciona: (2x − 1)(x + 3) = 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3. Igualar cada factor a cero da x = 1/2 y x = −3. Si ninguna pareja de números enteros funciona, la expresión cuadrática no se factoriza de forma sencilla, y la fórmula general de la próxima unidad igual la resuelve.

Un rectángulo de 40 m² y la raíz que se descarta

Un rectángulo mide 3 metros más de largo que de ancho y su área es de 40 metros cuadrados. Llama w al ancho; el largo es w + 3, así que w(w + 3) = 40, que se convierte en w² + 3w − 40 = 0. Dos números con producto −40 y suma 3 son 8 y −5, así que (w + 8)(w − 5) = 0 y w = −8 o w = 5. Un ancho no puede ser negativo, así que el ancho es 5 m y el largo 8 m. Comprobación: 5 × 8 = 40. Descartar una solución que no encaja con la situación es un paso normal.